Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Призмы Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Векторы в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Пирамиды Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Тела вращения Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Графическое применение производной Смысл производной Свойства функций Первообразная Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Равенство фигур Многоугольники Векторы Окружнoсть и круг Высота Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Подобие фигур Биссектриса Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Прямые и углы на плоскости Трапеция Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Скалярное произведение векторов Прямоугольник Метод координат на плоскости Квадрат Средняя линия Теорема Пифагора Движения Элементы планиметрии Ромб Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника
Реальная математика
Комбинаторика Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Множества Метод математической индукции Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Вероятность

Параллелограммы

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны.

\(AB = CD,\ AD = BC\)

\(AB\ ||\ CD,\ AD\ ||\ BC\)

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

1. Противоположные стороны равны:

\(AB = CD\)

\(AD = BC\)

2. Противоположные углы равны:

\(\angle A = \angle C\)

\(\angle B = \angle D\)

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними:

\(\angle BAD + \angle ADC = 180{^\circ}\)

\(\angle ABC + \angle BCD = 180{^\circ}\)

4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов. Например:

\(\angle DAC = \angle BCA\)

\(\angle CBD = \angle BDA\)

5. Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных (по стороне и двум углам) треугольников:

\(\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}BCD\)

\(\mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}ACD\)

6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

\(AO = OC\)

\(BO = OD\)

Также параллелограмм обладает необычными свойствами, связанные с биссектрисами:

Пусть AL и СК – биссектрисы противоположных углов, а ВМ – биссектриса смежного с ними угла.

Тогда:

1. Биссектрисы противоположных углов параллельны:

\(AL\ ||\ CK\)

2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны:

\(AL,\ CK\bot BM\)

3. Биссектриса параллелограмма отсекает от него два равных угла. Например:

\(\mathrm{\Delta}ABL\ - \ равнобедренный,\ т.к.\ \angle BAL = \angle BLA\)

\(\mathrm{\Delta}ABM\ - \ равнобедренный,\ т.к.\ \angle ABM = \angle AMB\)

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

Для того, чтобы доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

\(AB\ ||\ CD\)

\(BC\ ||\ AD\)

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

\(AB\ ||\ CD,\ AB = CD\)

\(или\)

\(BC\ ||\ AD,\ BC = AD\)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

\(AB = CD\)

\(BC = AD\)

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

\(\angle DAB = \angle BCD\)

\(\angle ABC = \angle CDA\)

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

\(AO = OC\)

\(BO = OD\)

6. Сумма углов четырехугольника, прилегающих к любой стороне, равна 180°:

\(\angle ABC + \angle BCD = \angle BCD + \angle CDA = \angle CDA + \angle DAB = \angle DAB + \angle ABC = 180{^\circ}\)

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЕЛОГРАММА:

1. Через высоту и сторону

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

\(S = ah_{1} = bh_{2}\)

2. Через две стороны и угол между ними

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

\(S = ab \bullet \sin\alpha\)

3. Через диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

\(S = \frac{1}{2}d_{1}d_{2} \bullet \sin\gamma\)