Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на проценты
Стереометрия
Призмы Векторы в пространстве Движения в пространстве Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Сечения в многогранниках Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Линейные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции
Неравенства
Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Скалярное произведение векторов Ромб Простейшие расстояния на плоскости Прямые и углы на плоскости Трапеция Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Элементы планиметрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Векторы Окружнoсть и круг Многоугольники Медиана Биссектриса Движения Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Отношения в геометрии Треугольники. Площади Квадрат Симметрия Прямоугольник Серединный перпендикуляр Средняя линия Теорема Пифагора Виды треугольников Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Высота

Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

  • Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.

  • Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.

  • При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Пример:

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

Изображение выглядит как снимок экрана, часы Автоматически созданное описание

  1. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

  1. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

  1. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.