Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Пирамиды Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Двугранный угол Призмы Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Квадратные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Иррациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Показательные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Анализ функций
Графическое применение производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Экстремумы Смысл производной Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Средняя линия Теорема Менелая и теорема Чевы Элементы планиметрии Многоугольники Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Ромб Квадрат Равенство фигур Отношения в геометрии Прямоугольник Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Теорема синусов и теорема косинусов Площади четырёхугольников Медиана Подобие фигур Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Виды треугольников Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Симметрия Метод координат на плоскости Биссектриса Трапеция
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на проценты Множества Сложные проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции

Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

  • Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.

  • Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.

  • При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Пример:

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

Изображение выглядит как снимок экрана, часы Автоматически созданное описание

  1. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

  1. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

  1. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.