Тригонометрические неравенства

Сложность решения тригонометрических неравенств заключается в том, что углов бесконечное множество. Потеря хотя бы одного угла сводит решение тригонометрического неравенства к неправильному ответу.

Для работы с этими неравенствами, включающими синус и косинус, удобнее всего использовать тригокруг – для визуализации 360°, а остальное бесконечное множество углов записывается с помощью периода.

А при работе с неравенствами, включающими тангенс и котангенс, удобнее использовать графики тригофункций, чтобы наглядно видеть все ограничения этих функций

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА С СИНУСОМ И КОСИНУСОМ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА \(\mathbf{\sin}\mathbf{\ }\mathbf{x}\mathbf{\geq}\mathbf{a}\) И \(\mathbf{sin\ x \leq a}\)

1. Рисуем тригокруг и отмечаем прямую \(\sin x = a\). Таким образом наш тригокруг делится на две области – ниже прямой и выше прямой

2. Определяем нужную нам область по знаку больше или меньше. Знаку «больше» соответствует верхняя область, знаку «меньше» - нижняя.

3. Искомые углы будут заключаться между корнями уравнения \(\sin x = a\), при этом в зависимости от отмеченной области, промежуток будет записываться по движению от корня к корню против часовой стрелки.

Решением неравенств с синусом будет являться:

Решите два неравенства:

\(\sin x \geq \frac{1}{2}\) и \(\sin x \leq \frac{1}{2}\)

В обоих случаях значение синуса, относительно которого решается неравенство, одинаковое, разница лишь в знаках неравенства.

Отметим на тригокруге прямую \(\sin x = \frac{1}{2}\) и посмотрим, какие углы соответствуют значениям больше и меньше данного:

Мы знаем, что \(\sin x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и при \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\mathbb{\in Z}\).

1. Чтобы понять, при каких углах синус будет больше или меньше \(\frac{1}{2}\) будем двигаться по оси синусов. Все углы, синус которых будет больше, чем \(\frac{1}{2}\) будут находиться выше прямой \(\sin x = \frac{1}{2}\):

Тогда решением неравенства будут все углы от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{5\pi}{6}\) (двигаемся против часовой стрелки), при этом каждому углу будет соответствовать бесконечная серия углов. Выглядеть решение неравенства будет так:

\(\sin x \geq \frac{1}{2}\)

\(\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\ \)

2. Теперь посмотрим, какие углы будут соответствовать значениям синуса меньше \(\frac{1}{2}\).

Отметим область, ниже прямой \(\sin x = \frac{1}{2}\):

Значение углов, определяющих границу промежутков, остались прежними – это \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\mathbb{\in Z}\). Однако, чтобы указать промежуток ниже прямой, будем снова двигаться против часовой стрелки, тогда решением данного неравенства будет:

\(\sin x \leq \frac{1}{2}\)

\(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Ответ: \(\mathbf{x \in}\left\lbrack \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right\rbrack\mathbf{;}x \in \left\lbrack \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right\rbrack,\ n\mathbb{\in Z}\).

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА \(\mathbf{\cos}\mathbf{\ }\mathbf{x}\mathbf{\geq}\mathbf{a}\) И \(\mathbf{cos\ x \leq a}\)

1. Рисуем тригокруг и отмечаем прямую \(\cos x = a\). Таким образом наш тригокруг делится на две области – правее и левее прямой.

2. Определяем нужную нам область по знаку больше или меньше. Знаку «больше» соответствует правая область, знаку «меньше» - левая.

3. Искомые углы будут заключаться между корнями уравнения \(\cos x = a\), при этом в зависимости от отмеченной области, промежуток будет записываться по движению от корня к корню против часовой стрелки, от меньшего к большему.

Решением неравенств с косинусом будет являться:

Решите два неравенства

\({c\text{os}}x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\)

1. Отметим прямую \({c\text{os}}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) на тригокруге:

Будем рассматривать все значения косинуса больше \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), а значит правее прямой:

Запишем соответствующие углы против часовой стрелки, при этом от меньшего к большему. Получим следующее решение неравенства:

\({c\text{os}}x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(- \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. Аналогично решим второе неравенство. Отметим область левее прямой \({c\text{os}}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

Чтобы записать верные углы нужно учесть, что изначально корни уравнения \({c\text{os}}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) попадают в две точки – одна больше нуля, вторая меньше, поэтому чтобы отметить именно правую область, нужно к отрицательному углу прибавить один круг:

Таким образом решением неравенства будет:

\(\cos x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Ответ: \(x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{4} + 2\pi n;\frac{\pi}{4} + 2\pi n \right\rbrack;\ x \in \left\lbrack \frac{\pi}{4} + 2\pi n;\frac{7\pi}{4} + 2\pi n \right\rbrack,\ n\mathbb{\in Z}\)

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА С ТАНГЕНСОМ И КОТАНГЕНСОМ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА \(\mathbf{\text{tg}}\mathbf{\ }\mathbf{x}\mathbf{\geq}\mathbf{a}\) И \(\mathbf{tg\ x \leq a}\)

1. Чертим кусочек графика функции \(y = tg\ x\) на промежутке \(\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)\).

2. Проводим прямую \(tg\ x = a\). Эта прямая пересечет график в точке с абсциссой \(\text{arctg\ a}\) (на оси Ox).

3. Проведем пунктирную прямую, параллельную оси Oy, проходящую через абсциссу \(x = \ \text{arctg\ a}\). Эта пунктирная прямая поделит график на две области – левую и правую.

4. Отмечаем нужную нам область графика в соответствии со знаком неравенства – правую область, если знак «больше», левую, если знак «меньше».

5. Отмечаем углы в данной области. Каждому приписываем период тангенса. Одной из границ промежутка всегда будет корень уравнения \(\text{arc}\text{tg\ a}\), а второй границей будет одна из границ промежутка \(\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)\), в зависимости от знака неравенства.

Решением неравенств с тангенсом будет являться:

Решите два уравнения:

\(tg\ x \geq \sqrt{3}\)

и

\(tg\ x \leq \sqrt{3}\)

Видим одинаковое значение тангенса, относительно которого нужно выбрать как меньшие, так и большие значения. Нарисуем кусочек функции \(y = tg\ x\) и проведем на нем прямую \(tg\ x = \sqrt{3}\). Тогда пунктирная прямая будет иметь координату \(x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\):

1. Если нам нужны все углы, значения тангенса которых больше \(\sqrt{3}\), тогда отметим область справа от пунктирной прямой:

Тогда решением к данному неравенству будут все углы между \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{\pi}{2}\), повторяющиеся через каждый период тангенса:

\(tg\ x \geq \sqrt{3}\)

\(\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. Теперь найдем углы, значения тангенса которых меньше, чем \(\sqrt{3}\). Отметим область слева от пунктирной прямой:

Аналогично запишем решение к данному неравенству:

\(tg\ x \leq \sqrt{3}\)

\(- \frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Ответ: \(x \in \left\lbrack \left. \ \frac{\pi}{3} + \pi n;\frac{\pi}{2} + \pi n \right) \right.\ ;x \in \left( \left. \ - \frac{\pi}{2} + \pi n;\frac{\pi}{3} + \pi n \right\rbrack \right.\ ,\ где\ n\mathbb{\in Z}\)

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА \(\mathbf{c}\mathbf{\text{tg}}\mathbf{\ }\mathbf{x}\mathbf{\geq}\mathbf{a}\) И \(\mathbf{ctg\ x \leq a}\)

1. Чертим кусочек графика функции \(y = ctg\ x\) на промежутке \(\left( 0;\pi \right)\).

2. Проводим прямую \(ctg\ x = a\). Эта прямая пересечет график в точке с абсциссой \(\text{arcctg\ a}\) (на оси Ox).

3. Проведем через эту абсциссу прямую \(x = arcctg\ a\), параллельную оси Oy. Эта пунктирная прямая поделит график на две области – левую и правую.

4. Отмечаем нужную нам область графика в соответствии со знаком неравенства – левую область, если знак «больше», правую, если знак «меньше».

5. Отмечаем углы в данной области. Каждому приписываем период котангенса. Одной из границ промежутка всегда будет корень уравнения \(\text{arcc}\text{tg\ a}\), а второй границей будет одна из границ промежутка \(\left( 0;\pi \right)\), в зависимости от знака неравенства.

Решением неравенств с котангенсом будет являться:

Решите два неравенства

\(ctg\ x \geq \sqrt{3}\)

и

\(ctg\ x \leq \sqrt{3}\)

Аналогично неравенству с тангенсом сначала нарисуем кусочек графика функции \(y = ctg\ x\) и проведем прямую \(y = \sqrt{3}\). Абсцисса точки пересечения этой прямой с графиком будет равна \(\text{arcctg\ }\sqrt{3} = \frac{\pi}{6}\). Проведем через нее прямую, параллельную Oy:

1. Для того, чтобы найти значения котангенса, больше \(\sqrt{3}\), отметим область левее прямой \(x = \frac{\pi}{6}\).

Тогда решением данного неравенства будут являться углы от 0 до \(\frac{\pi}{6}\), повторяющиеся через каждый период котангенса:

\(ctg\ x \geq \sqrt{3}\)

\(\pi n < x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. Аналогично решим второе неравенство, но уже будем выделять левую от пунктира область, т. к. именно там значения котангенса меньше \(\sqrt{3}\):

Углы на ней принимают значения от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\pi\):

\(ctg\ x \leq \sqrt{3}\)

\(\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x < \pi + \pi n,\ \pi\mathbb{\in Z}\)

Ответ: \(x \in \left( \left. \ \pi n;\frac{\pi}{6} + \pi n \right\rbrack \right.\ ;x \in \left\lbrack \left. \ \frac{\pi}{6} + \pi n;\pi \right) \right.\ ,\ где\ n\mathbb{\in Z}\)