Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Множества Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Метод координат в пространстве Тела вращения Призмы Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Пирамиды
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Однородные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Показательные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Экстремумы Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций
Неравенства
Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Элементы планиметрии Медиана Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Высота Средняя линия Движения Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Симметрия Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Векторы Треугольники. Площади Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Биссектриса Равенство фигур Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Ромб Метод координат на плоскости

Призмы

Если мы не можем покрутить в руках треугольник (мы можем только изобразить его на плоскости), то мы можем покрутить в руках любую объёмную фигуру, например призму или пирамиду. Такие объемные фигуры называются геометрическими телами.

И наоборот, из-за того, что объемные фигуры не плоские, возникают сложности с их изображением на плоской бумаге, например, для построения чертежа. Поэтому, чтобы показать, что некоторые линии в многограннике невидимые, потому что находятся за другими его частями, их обозначают пунктиром.

N-угольная призма – это геометрическое тело, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и n параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы.

Призма является многогранником – геометрическим телом, состоящим из граней.

Боковые ребра призмы между собой равны и параллельны.

Призму называют по её основанию. В данном случае в основании призмы лежит треугольник, значит эта призма треугольная.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный от плоскости одного основания к плоскости другого.

Наклонная призма – это призма, у которой боковое ребро больше его высоты, т. е. боковые грани НЕ перпендикулярны основаниям призмы.

Прямая призма – это призма, боковое ребро и высота которой равны, т. е. все боковые грани перпендикулярны основаниям призмы.

РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ

Для каждой объемной фигуры существует развертка. Развертка получается, если мысленно разрезать многогранник по его ребру и развернуть получившуюся фигуру на плоскости. Можно обратно получить многогранник из развертки: вырезать развертку и склеить её по ребру разрыва, тогда мы получим исходный многогранник

Например, развертка треугольной призмы выглядит так:

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

  1. Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей её боковых граней.

Для прямой n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту (т. к. высота призмы совпадает с высотами боковых граней):

\(S_{бок.} = P_{осн.} \bullet h\)

Для правильной n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению длины стороны основания на их количество и на высоту призмы:

\(S_{бок.} = \text{anh}\)

где a – сторона основания призмы

  1. Площадь полной поверхности призмы включается в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований, т.е.:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + 2S_{осн.}\)

  1. Объём призмы равен произведению площадь её основания на высоту:

\(V = S_{осн.} \bullet h\)

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И КУБ

Прямоугольный параллелепипед – это четырёхугольная призма, все ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны другу.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. Куб является правильной призмой.

Площадь боковой, полной поверхности, а также объем прямоугольного параллелепипеда и куба соответственно равны: