Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг
Планиметрия
Многоугольники Треугольники. Площади Высота Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Симметрия Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Прямые и углы на плоскости Трапеция Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Движения Равенство фигур Параллелограммы Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Четыре замечательные точки треугольника Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Элементы планиметрии Ромб Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Прямоугольник Комбинации с окружностью Биссектриса
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Прикладные задачи Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Текстовые задачи на движение по воде Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой
Стереометрия
Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между плоскостями Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды
Уравнения
Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Уравнения в целых числах Однородные уравнения Показательные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Экстремумы Первообразная Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства

Призмы

Если мы не можем покрутить в руках треугольник (мы можем только изобразить его на плоскости), то мы можем покрутить в руках любую объёмную фигуру, например призму или пирамиду. Такие объемные фигуры называются геометрическими телами.

И наоборот, из-за того, что объемные фигуры не плоские, возникают сложности с их изображением на плоской бумаге, например, для построения чертежа. Поэтому, чтобы показать, что некоторые линии в многограннике невидимые, потому что находятся за другими его частями, их обозначают пунктиром.

N-угольная призма – это геометрическое тело, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и n параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы.

Призма является многогранником – геометрическим телом, состоящим из граней.

Боковые ребра призмы между собой равны и параллельны.

Призму называют по её основанию. В данном случае в основании призмы лежит треугольник, значит эта призма треугольная.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный от плоскости одного основания к плоскости другого.

Наклонная призма – это призма, у которой боковое ребро больше его высоты, т. е. боковые грани НЕ перпендикулярны основаниям призмы.

Прямая призма – это призма, боковое ребро и высота которой равны, т. е. все боковые грани перпендикулярны основаниям призмы.

РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ

Для каждой объемной фигуры существует развертка. Развертка получается, если мысленно разрезать многогранник по его ребру и развернуть получившуюся фигуру на плоскости. Можно обратно получить многогранник из развертки: вырезать развертку и склеить её по ребру разрыва, тогда мы получим исходный многогранник

Например, развертка треугольной призмы выглядит так:

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

  1. Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей её боковых граней.

Для прямой n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту (т. к. высота призмы совпадает с высотами боковых граней):

\(S_{бок.} = P_{осн.} \bullet h\)

Для правильной n-угольной призмы площадь боковой поверхности равна произведению длины стороны основания на их количество и на высоту призмы:

\(S_{бок.} = \text{anh}\)

где a – сторона основания призмы

  1. Площадь полной поверхности призмы включается в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований, т.е.:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + 2S_{осн.}\)

  1. Объём призмы равен произведению площадь её основания на высоту:

\(V = S_{осн.} \bullet h\)

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И КУБ

Прямоугольный параллелепипед – это четырёхугольная призма, все ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны другу.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. Куб является правильной призмой.

Площадь боковой, полной поверхности, а также объем прямоугольного параллелепипеда и куба соответственно равны: