Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Первообразная Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Графическое применение производной Преобразование графиков функции Экстремумы
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Виды треугольников Треугольники. Площади Ромб Биссектриса Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Метод координат на плоскости Средняя линия Четыре замечательные точки треугольника Медиана Симметрия Движения Подобие фигур Высота Векторы Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Прямоугольник Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Окружнoсть и круг Равенство фигур Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Площади четырёхугольников Теорема Пифагора Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Трапеция
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика
Стереометрия
Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Расстояние от прямой до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Пирамиды Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Двугранный угол Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между плоскостями Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Для того, чтобы отобрать корни при решении тригонометрических уравнений использую двойные неравенства. Мы ставим серию ответов в двойное неравенство, которое определяется заданным промежутком и ищем подходящие корни. Этот метод максимально прост. Все, что требует при отборе корней данным методом – уметь решать двойные неравенства. Но у этого есть и обратная сторона. При работе с двойными неравенствами можно совершить ошибку по невнимательности.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:

  1. Полученное решение записываем в двойное неравенство, определяющее заданный промежуток.

  2. Решаем неравенство относительно n. Мы знаем, что n – количество периодов, которое может быть только целым числом. Если n попадает в промежуток, где нет целых чисел, тогда данная серия ответов не подходит.

  3. Подставляем полученное n в серию ответов и находим нужные углы.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку\(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\)

  1. Составим двойное неравенство с первой серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Решим двойное неравенство. Так как нам нужно выразить n, которое находится в середине двойного неравенства, будет постепенно убирать из этой части слагаемые и множители. Вычтем из каждой части неравенства слагаемое \(\frac{\pi}{3}\):

\(- \pi - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)

\(- \frac{4\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{6}\)

  1. Теперь избавимся от лишнего множителя посередине. Поделим каждую часть неравенства на \(2\pi\):

\(- \frac{4\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{8\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}\)

  1. Таким образом единственное целое значение \(n\), которое попадает в данный промежуток – это \(n = 0\). Подставим в серию ответом это значение n и найдем угол:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3}\)

  1. Аналогично составим и решим двойное неравенство со второй серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Вычтем слагаемое \(\frac{2\pi}{3}\) из каждой части уравнения:

\(- \pi - \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\)

\(- \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{5\pi}{6}\)

  1. Поделим каждую часть уравнения на \(2\pi\)

\(- \frac{5\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{5\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{5}{12}\)

  1. Мы получили промежуток, в котором n также принимает единственное целое значение, когда \(n = 0.\) Найдем угол, зная, чему равно n:

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\).