Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Смысл производной Интеграл Свойства функций Экстремумы Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Первообразная Графическое применение производной
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Медиана Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости Высота Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Прямоугольник Серединный перпендикуляр Параллелограммы Теорема Пифагора Трапеция Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Средняя линия Биссектриса Многоугольники Симметрия Квадрат Движения Векторы Ромб Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Четыре замечательные точки треугольника Виды треугольников Отношения в геометрии Треугольники. Площади Подобие фигур
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Вероятность Комбинаторика Сложные проценты
Стереометрия
Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Сечения в многогранниках Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Пирамиды Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Двугранный угол Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения
Уравнения
Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений

Графическое применение производной

Мы приступаем к 7му заданию ЕГЭ. Один из способов решения заданий данной темы – это графический способ, который во многом облегчает жизнь ( учитывая, что данной теме выделено целое задание ЕГЭ, нельзя недооценивать его ). Сейчас мы рассмотрим, что могут нас попросить найти в данном типе заданий и разберем алгоритмы решения.

График функции

Если важен только знак производной:

  1. Ищем промежутки возрастания/убывания

  2. Делаем вывод о знаке производной

  3. Ответ

Если важно значение производной:

  1. Ищем промежутки возрастания/убывания

  2. Строим касательную к графику в нужных точках

  3. По её наклону делаем вывод о значении производной

  4. Ответ

Если важно нулевое значение производной:

  1. Находим на графике функции точки минимума/максимума

  2. Делаем вывод согласно условиям задачи

  3. Ответ

График производной функции

Если нужно найти точку, в которой функция принимает наибольшее/наименьшее значение:

  1. Ищем промежутки, где график выше/ниже нуля

  2. Делаем вывод о поведении функции на промежутке и в крайних точках

  3. Ответ

Если нужно найти точку экстремума:

  1. Рассматриваем точки пересечения графика с осью Ох

  2. По смене знаков в этих точках определяем точки максимума и минимума

  3. Ответ

Если нужно найти промежутки возрастания/убывания функции:

  1. Ищем промежутки, на которых производная больше/меньше нуля

  2. Ответ

График и уравнение касательной

Если дан график функции:

  1. Ищем значение производной (по угловому коэффициенту касательной или через тангенс её наклона)

  2. Ответ

Если дан график производной:

  1. В условии находим угловой коэффициент касательной

  2. Находим соответствующие значения на графике

  3. Ответ

Уравнение функции и касательной

  1. Приравниваем:

  • производную функции и угловой коэффициент касательной

  • значение функции и касательной в точке касания

  1. Составляем и решаем систему уравнений:

\(\left\{ \begin{matrix} f’(x_{1}\ ) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x_{1} \right) = ax_{1} + b \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. Ответ

Первообразная

Если дан график \(f(x)\) с двумя границами \(\lbrack a;\ b\rbrack\) и явный вид первообразной \(F(x) = \ \ldots\ \ \)

  • Подставляем граничные точки в первообразную и находим площадь под графиком \(S = F(b) - F(a)\ \)

Если дан простой график и нужно найти \(F(b) - F(a)\)

  • Ищем площадь под графиком по клеточкам в интервале \(\lbrack a;b\rbrack\) и находим\(\ F(b) - F(a) = S\)

Если дан график функции или первообразной

  • Пользуемся определением первообразной \(F’(x) = f(x)\)