Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Свойства функций Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Интеграл
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Виды треугольников Медиана Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Квадрат Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Симметрия Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Скалярное произведение векторов Средняя линия Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Элементы планиметрии Многоугольники Высота Движения Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Векторы Прямые и углы на плоскости Ромб
Реальная математика
Сложные проценты Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Призмы Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства

Смысл производной

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной в точке \(x_{0}\) выглядит следующим образом:

\(y = f^{'}\left( x_{0} \right)x - f^{'}\left( x_{0} \right) \bullet x_{0} + f\left( x_{0} \right)\)

\(f^{'}\left( x_{0} \right)\) — значение производной в точке \(x_{0}\)

\(x_{0} - \ \)координата самой точки

\(f\left( x_{0} \right)\) — значение функции в точке \(x_{0}\)

Производная функции в точке \(x_{0}\) равна коэффициенту наклона касательной, проведенной в точке \(x_{0}\):

\(f^{'}\left( x_{0} \right) = k = tg\ \alpha\)

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

\(Функция\ возрастает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) > 0\)

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

\(Функция\ убывает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) < 0\)

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

\(Точка\ экстремума\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) = 0\)

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

\(Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\ \mathbf{+ \ \Rightarrow \ -}\)

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

\(Минимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\mathbf{- \ \Rightarrow \ +}\)

Физический смысл производной

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону \(x(t)\). Получается, что \(x\left( t \right)\) — это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

\(v\left( t \right) = x'(t)\)

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

\(a\left( t \right) = v^{'}\left( t \right) = x''(t)\)

Таким образом, скорость материальной точки — это первая производная от функции расстояния (координаты), а ускорение – вторая производная от функции расстояния.