Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Виды треугольников Симметрия Ромб Высота Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Средняя линия Элементы планиметрии Трапеция Векторы Равенство фигур Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Треугольники. Площади Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Пифагора Движения Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Медиана Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Биссектриса
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Множества
Стереометрия
Призмы Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Пирамиды Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Линейные уравнения Уравнения в целых числах Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Анализ функций
Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная Графическое применение производной Экстремумы Правила дифференцирования

Смысл производной

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной в точке \(x_{0}\) выглядит следующим образом:

\(y = f^{'}\left( x_{0} \right)x - f^{'}\left( x_{0} \right) \bullet x_{0} + f\left( x_{0} \right)\)

\(f^{'}\left( x_{0} \right)\) — значение производной в точке \(x_{0}\)

\(x_{0} - \ \)координата самой точки

\(f\left( x_{0} \right)\) — значение функции в точке \(x_{0}\)

Производная функции в точке \(x_{0}\) равна коэффициенту наклона касательной, проведенной в точке \(x_{0}\):

\(f^{'}\left( x_{0} \right) = k = tg\ \alpha\)

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

\(Функция\ возрастает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) > 0\)

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

\(Функция\ убывает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) < 0\)

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

\(Точка\ экстремума\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) = 0\)

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

\(Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\ \mathbf{+ \ \Rightarrow \ -}\)

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

\(Минимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\mathbf{- \ \Rightarrow \ +}\)

Физический смысл производной

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону \(x(t)\). Получается, что \(x\left( t \right)\) — это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

\(v\left( t \right) = x'(t)\)

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

\(a\left( t \right) = v^{'}\left( t \right) = x''(t)\)

Таким образом, скорость материальной точки — это первая производная от функции расстояния (координаты), а ускорение – вторая производная от функции расстояния.