Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Элементы и аксиомы стереометрии Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Двугранный угол Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Пирамиды
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства
Анализ функций
Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Свойства функций Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Векторы Элементы планиметрии Прямоугольник Серединный перпендикуляр Движения Трапеция Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Средняя линия Теорема Пифагора Равенство фигур Окружнoсть и круг Виды треугольников Высота Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Параллелограммы Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Подобие фигур Отношения в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Прямые и углы на плоскости Ромб Квадрат Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана
Реальная математика
Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Комбинаторика Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции Множества Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.