Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Равенство фигур Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Параллелограммы Комбинации с окружностью Средняя линия Трапеция Виды треугольников Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Движения Отношения в геометрии Ромб Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Прямоугольник Векторы Серединный перпендикуляр Квадрат Прямые и углы на плоскости Высота Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Простейшие расстояния на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Окружнoсть и круг Биссектриса Медиана Подобие фигур Многоугольники
Реальная математика
Комбинаторика Вероятность Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Множества
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве Движения в пространстве Пирамиды Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения
Анализ функций
Интеграл Экстремумы Смысл производной Преобразование графиков функции Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.