Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Многоугольники Параллелограммы Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Элементы планиметрии Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Средняя линия Движения Трапеция Окружнoсть и круг Ромб Подобие фигур Треугольники. Площади Биссектриса Виды треугольников Отношения в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Векторы Прямоугольник Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Скалярное произведение векторов Симметрия Квадрат Высота Медиана Метод координат на плоскости
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Множества Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Метод математической индукции Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики
Стереометрия
Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Пирамиды Угол между плоскостями Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Двугранный угол Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения
Анализ функций
Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Интеграл
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства

Угол между плоскостями

При пересечении две плоскости образуют двугранный угол, линейная величина которого равна углу между плоскостями. Существует два метода нахождения этого угла.

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Как видно из названия, при нахождении угла данным методом нужно провести на каждой из плоскостей перпендикуляр к прямой их пересечения, при этом так, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Существуют две плоскости \(\alpha\) и\(\text{\ β}\), которые пересекаются на прямой\(\ m\):

Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно:

  1. На плоскости \(\alpha\) провести перпендикуляр АО к прямой m.

  2. На плоскости \(\beta\) провести перпендикуляр OB:

  1. Найти линейный угол АОВ:

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ПЛОСКОСТЯМ

Иногда проведение перпендикуляров к прямой пересечения плоскостей – не самый удобный метод нахождения угла между плоскостями. Иногда удобнее «вынести» угол из двугранного угла и посчитать его как угол между прямыми.

  1. Провести перпендикуляр АО от плоскости α.

  2. провести перпендикуляр ОВ к плоскости β:

  1. Найти линейный угол между прямыми АО и ОВ: