Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Иррациональные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней
Анализ функций
Графики тригонометрических функций Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени
Планиметрия
Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Векторы Прямоугольник Параллелограммы Прямые и углы на плоскости Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Движения Площади четырёхугольников Виды треугольников Окружнoсть и круг Медиана Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Трапеция Метод координат на плоскости Квадрат Отношения в геометрии Многоугольники Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Ромб Высота Теорема синусов и теорема косинусов
Реальная математика
Метод математической индукции Основы комбинаторики Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по воде Прикладные задачи Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси
Стереометрия
Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Тела вращения Движения в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Двугранный угол Призмы Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью

Угол между плоскостями

При пересечении две плоскости образуют двугранный угол, линейная величина которого равна углу между плоскостями. Существует два метода нахождения этого угла.

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Как видно из названия, при нахождении угла данным методом нужно провести на каждой из плоскостей перпендикуляр к прямой их пересечения, при этом так, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Существуют две плоскости \(\alpha\) и\(\text{\ β}\), которые пересекаются на прямой\(\ m\):

Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно:

  1. На плоскости \(\alpha\) провести перпендикуляр АО к прямой m.

  2. На плоскости \(\beta\) провести перпендикуляр OB:

  1. Найти линейный угол АОВ:

МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К ПЛОСКОСТЯМ

Иногда проведение перпендикуляров к прямой пересечения плоскостей – не самый удобный метод нахождения угла между плоскостями. Иногда удобнее «вынести» угол из двугранного угла и посчитать его как угол между прямыми.

  1. Провести перпендикуляр АО от плоскости α.

  2. провести перпендикуляр ОВ к плоскости β:

  1. Найти линейный угол между прямыми АО и ОВ: