Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Уравнения с модулем Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Линейные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения
Анализ функций
Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Свойства функций Первообразная Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Средняя линия Элементы планиметрии Медиана Комбинации с окружностью Трапеция Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Симметрия Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Многоугольники Прямые и углы на плоскости Подобие фигур Равенство фигур Треугольники. Площади Прямоугольник Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Метод координат на плоскости Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Площади четырёхугольников Векторы Ромб Простейшие расстояния на плоскости Высота Движения
Реальная математика
Вероятность Прикладные задачи Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Диаграммы, графики и таблицы Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой
Стереометрия
Движения в пространстве Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Двугранный угол

Многоугольники

Многоугольник – это геометрическая фигуру, образованная ограниченной ломаной. Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.

n - угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов. При этом \(n \geq\)3.

Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.

Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь для различных n - угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.

ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей между его соседними вершинами.

Другими словами, у выпуклого многоугольника любой внутренний угол меньше 180⁰.

Например, пятиугольник \(А_{1}А_{2}А_{3}А_{4}А_{5}\)­ – выпуклый, а четырехугольник \(В_{1}В_{2}В_{3}В_{4}\) – невыпуклый или вогнутый:

Далее речь будет идти именно о выпуклых многоугольниках.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}\)

Диагональ – это отрезок между двумя не соседними вершинами многоугольника.

Количество диагоналей в n-угольнике равно

\(\frac{n(n\ –\ 3)}{2}\)

Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.

В таком случае каждый угол правильного многоугольника будет равен:

\(\frac{(n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}}{n}\)

Так же диагонали правильного многоугольника равны.

Периметр правильного n-угольника:

\(P = a \bullet n\)

где a – длина его стороны.

Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:

1. Правильный треугольник:

  • Все углы правильного треугольника равны по 60⁰

  • Высота правильного треугольника равна:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

  • Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:

\(S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Правильный четырёхугольник:

  • Все углы квадрата равны по 90⁰

  • Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:

\(h = a\)

  • Тогда его площадь равна:

\(S = a^{2}\)

3. Правильный шестиугольник:

  • Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰

  • Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:

\(h = a\sqrt{3}\)

  • Тогда площадь правильного шестиугольника равна площади шести правильных треугольников, из которых он состоит:

\(S = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}\)

У каждого правильного многоугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей: