Дробно - рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратится в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определяем область допустимых значений.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

\(\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 4}\)

1. Определим область допустимых значений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x - 2 \neq 0 \\ \ \\ \ x + 4 \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 2 \\ \ \\ \ \ \ x \neq - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и ‒4.

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

\(\left. \ \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 4}\ \right| \cdot (x\ –2)\left( x\ + 4 \right)\)

\(\frac{(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x - 2} = \frac{2(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x + 4}\)

\(x + 4 = 2(x\ –2)\)

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

\(x + 4 = 2x\ –4\)

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае видим линейное уравнение. Переносим иксы в одну сторону, числа в другую:

\(8 = x\)

5. Проверяем полученный корень (корни) на принадлженость к области допустимых значений. Корень принадлежит ОДЗ, если при его подстановке в уравнение знаменатели не обращаются в ноль:

Ответ: 8.

\(\frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x\left( x - 5 \right)}\)

1. Определим область допустимых значений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x - 5 \neq 0 \\ \ \\ \ x \neq 0 \\ \ \\ \ \ \ \ x(x - 5) \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 5 \\ \ \\ \ \ x \neq 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \)

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

\(\left. \ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x\left( x - 5 \right)} \right| \cdot x\left( x - 5 \right)\)

\(\frac{\left( x - 3 \right)x\left( x - 5 \right)}{x - 5} + \frac{x\left( x - 5 \right)}{x} = \frac{x\left( x + 5 \right)\left( x - 5 \right)}{x\left( x - 5 \right)}\)

\(\left( x - 3 \right)x + x - 5 = x + 5\)

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

\(x^{2} - 3x + x - 5 = x + 5\)

\(x^{2} - 2x - 5 - x - 5 = 0\)

\(x^{2} - 3x - 10 = 0\)

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при \(x^{2}\) равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \text{\ \ \ }x_{1} \cdot x_{2} = - 10 \\ \ \\ x_{1} + x_{2} = 3\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: ‒2

При подстановке корней в уравнение должно получиться верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.