Простейшие тригонометрические уравнения

Причем на месте \(x\) может стоять любое выражение, содержащее \(x\), а правая часть уравнения является числом.

Каждое простейшее уравнение имеет свою формулу решения, но, чтобы их не пришлось заучивать, можно использовать метод решения через тригонометрический круг.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЧЕРЕЗ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ:

1. Рисуем тригонометрический круг.
2. Отмечаем известное значение тригонометрической функции на соответствующей оси.
3. Через полученное значение на оси проводим прямую для:

\(\sin x\) – горизонтальную

\(\cos x\) – вертикальную

\(\text{tg\ x}\), \(\text{ctg\ x}\) – через начало координат до пересечения с кругом.

4. Записываем полученные значения \(\arcsin/\arccos/\ \text{arctg}/\ \text{arcctg}\) + период:

\(2\pi n,\ n\mathbb{\in Z} - полный\ круг\)

\(\pi n,\ n\mathbb{\in Z} - половина\ круга\)

УРАВНЕНИЯ ВИДА \(\mathbf{\sin}\mathbf{\text{x\ }}\mathbf{= a}\):

Решением такого вида уравнения является:

\(\ x = \left( - 1 \right)^{n}\arcsin a + \pi n,\ n \in Z\)

Она объединяется в себя две другие:

Такие же корни уравнения получаются при нахождении их через тригонометрический круг.

Решите уравнение:

\(\sin x = \ \frac{1}{2}\)

Первый способ. Через формулу:

1. Первая серия корней уравнения будет:

\(x_{1} = \arcsin\frac{1}{2} + 2\pi n,n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{1} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. Вторая серия корней:

\(x_{2} = \ \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

3. Записываем в ответ либо две серии аргументов сразу, либо одну, заключённую в общую формулу:

\(x = \left( - 1 \right)^{n}\frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z\)

Второй способ. Через тригонометрический круг:

1. Рисуем тригонометрический круг и отмечаем на оси синусов значение \(\sin x = \frac{1}{2}.\)
2. Для синуса проводим горизонтальную прямую, параллельную оси Ох, проходящую через точку \(\sin x = \frac{1}{2}.\)
3. В точках пересечения этой прямой с окружностью и будут находиться корни уравнения.
4. Записываем все получившиеся корни с учетом периода.

При использовании тригонометрического круга мы получили те же значения, что и при использовании формул.

УРАВНЕНИЯ ВИДА \(\mathbf{\cos}\mathbf{\text{x\ }}\mathbf{= a}\):

Решением такого вида уравнения является:

\(x = \pm \arccos 0 + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Решите уравнение:

\(\cos x = 0\)

Первый способ. Через формулу:

Для косинуса существует лишь одна формула, в которую включены уже две серии корней:

\(x = \pm \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Ответ: \(x = \pm \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\).

Второй способ. Через тригонометрический круг:

1. Рисуем тригонометрический круг и отмечаем на оси косинусов значение \(\cos x = 0\)
2. Для косинуса проводим вертикальную прямую, параллельную оси Оу, проходящую через точку \(\cos x = 0\)
3. В данном случае эта прямая совпадет с осью Оу и пересекает окружность в диаметре.
4. Записываем получившийся корень с учетом периода. В данном случае можем записать ответ как формулу в первом методе решения, а можем записать его как один из углов + период π, т.к. каждый следующий корень уравнения повторяется через пол-оборота.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ:

Пример №2 является примером особого случая, когда значение тригофункции попадает на пересечения оси Ох или Оу с окружностью.

К особым случаям относятся следующие уравнения:

Синус:

1. \(\sin x = 0\):

\(x = \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. \(\sin x = 1\):

\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

3. \(\sin x = \ –1\):

\(x = \ –\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Косинус:

1. \(\cos x = 0\):

\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

2. \(\cos x = 1\):

\(x = 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

3. \(\cos x = \ –1\):

\(x = \pi + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

УРАВНЕНИЯ ВИДА \(\mathbf{tg\ x = a}\) и \(\mathbf{c}\mathbf{tg\ x = a}\):

Решением этих уравнения является:

\(tg\ x = a\)

\(x = arctg\ a + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(ctg\ x = a\)

\(x = arcctg\ a + \ \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Решите уравнение:

\(\text{tg\ x} = \sqrt{3}\)

Первый способ. Через формулу:

Запишем формулу для нахождения корней для тангенса:

\(x = arctg\ \sqrt{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Это и есть ответ к данному уравнению.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Второй способ. Через тригонометрический круг:

1. Рисуем тригонометрический круг и отмечаем на вертикальной оси тангенсов значение \(tg\ x = \sqrt{3}\).
2. Для тангенса проводим прямую через начало координат, пока она второй раз не пересечет окружность.
3. В точках пересечения этой прямой с окружностью и будут находиться корни уравнения.
4. Записываем все получившиеся корни с учетом периода.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)