Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Линейные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Преобразование графиков функции Свойства функций
Неравенства
Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени
Планиметрия
Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Квадрат Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Ромб Виды треугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Треугольники. Площади Комбинации с окружностью Высота Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Равенство фигур Прямоугольник Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Векторы Элементы планиметрии Многоугольники Теорема Пифагора Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Средняя линия Движения Отношения в геометрии
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Сложные проценты Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Множества Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции
Стереометрия
Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Призмы Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Двугранный угол Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения

Экстремумы

Тема дифференциалы все усложняется. Сейчас посмотри уже 12 задание, где графическое решение будет только маленьким кусочком решения.

  • Точка экстремума (координата, геопозиция)– значение аргумента (x)

  • Экстремум (насколько высокая гора / низкая впадина) – значение функции (y)

Задание № 12

Найти точку экстремума (x) или экстремум (y).

Найти наибольшее/наименьшее значение функции на \(\lbrack a;b\rbrack.\)

Нахождение минимума/максимума

  1. Находим производную.

  2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

  3. Находим знаки производной между точками экстремума, делаем вывод по знакам.

  4. Для нахождения значения функции подставляем найденный x в функцию.

Проверка значений производной:

  • Подставляем наиболее удобные числа.

  • Проверяем минимальное необходимое количество промежутков.

  • Единственную точку экстремума можно не проверять.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения на \(\mathbf{\lbrack a;\ b\rbrack}\)

  1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

  2. Считаем ИСХОДНУЮ функцию в:

  • Начале промежутка

  • Конце промежутка

  • В экстремумах, лежащих в \(\lbrack a;\ b\rbrack\) (если есть).

  1. Выбираем нужное значение. В ответ – значение ФУКНЦИИ.

Альтернативный способ решения

Если функция \(f\left( x \right)\) всегда возрастает, то наибольшее / наименьшее значение функции \(f(g\left( x \right))\) будет достигаться там же, где и наибольшее / наименьшее значение функции \(g\left( x \right)\).

Всегда возрастающие функции: Всегда убывающие функции:
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\) \(f\left( x \right) = \log_{x}a,\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{,\ при\ a > 1}\) \(f\left( x \right) = a^{x},\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{,\ при\ a > 1}\)

Пример:

Найдите точку минимума функции \(y = x^{3} - 27x + 15\)

Решение:

Найдем производную и приравняем к 0:

\({3x}^{2} - 27 = 0\)

\({3x}^{2} = 27\)

\(x^{2} = 9\)

\(x_{1,2} = \pm 3\)

\(\text{\ x}\)

-3 3

Нас интересует точка минимума, значит выбираем точку, через которую знак с - меняется на +. Выбираем -3

Ответ: -3