Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Призмы Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Пирамиды Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Двугранный угол
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Однородные уравнения Иррациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Квадратные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Анализ функций
Преобразование графиков функции Интеграл Экстремумы Правила дифференцирования Графическое применение производной Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная
Неравенства
Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Скалярное произведение векторов Многоугольники Серединный перпендикуляр Прямоугольник Ромб Средняя линия Биссектриса Симметрия Параллелограммы Комбинации с окружностью Квадрат Теорема Пифагора Площади четырёхугольников Медиана Равенство фигур Теорема синусов и теорема косинусов Треугольники. Площади Трапеция Элементы планиметрии Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Виды треугольников Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Теорема Менелая и теорема Чевы Движения Площадь круга и сектора круга Высота Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Прямые и углы на плоскости
Реальная математика
Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Основы комбинаторики Комбинаторика

Экстремумы

Тема дифференциалы все усложняется. Сейчас посмотри уже 12 задание, где графическое решение будет только маленьким кусочком решения.

  • Точка экстремума (координата, геопозиция)– значение аргумента (x)

  • Экстремум (насколько высокая гора / низкая впадина) – значение функции (y)

Задание № 12

Найти точку экстремума (x) или экстремум (y).

Найти наибольшее/наименьшее значение функции на \(\lbrack a;b\rbrack.\)

Нахождение минимума/максимума

  1. Находим производную.

  2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

  3. Находим знаки производной между точками экстремума, делаем вывод по знакам.

  4. Для нахождения значения функции подставляем найденный x в функцию.

Проверка значений производной:

  • Подставляем наиболее удобные числа.

  • Проверяем минимальное необходимое количество промежутков.

  • Единственную точку экстремума можно не проверять.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения на \(\mathbf{\lbrack a;\ b\rbrack}\)

  1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

  2. Считаем ИСХОДНУЮ функцию в:

  • Начале промежутка

  • Конце промежутка

  • В экстремумах, лежащих в \(\lbrack a;\ b\rbrack\) (если есть).

  1. Выбираем нужное значение. В ответ – значение ФУКНЦИИ.

Альтернативный способ решения

Если функция \(f\left( x \right)\) всегда возрастает, то наибольшее / наименьшее значение функции \(f(g\left( x \right))\) будет достигаться там же, где и наибольшее / наименьшее значение функции \(g\left( x \right)\).

Всегда возрастающие функции: Всегда убывающие функции:
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\) \(f\left( x \right) = \log_{x}a,\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{,\ при\ a > 1}\) \(f\left( x \right) = a^{x},\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{,\ при\ a > 1}\)

Пример:

Найдите точку минимума функции \(y = x^{3} - 27x + 15\)

Решение:

Найдем производную и приравняем к 0:

\({3x}^{2} - 27 = 0\)

\({3x}^{2} = 27\)

\(x^{2} = 9\)

\(x_{1,2} = \pm 3\)

\(\text{\ x}\)

-3 3

Нас интересует точка минимума, значит выбираем точку, через которую знак с - меняется на +. Выбираем -3

Ответ: -3