Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Окружнoсть и круг Серединный перпендикуляр Биссектриса Виды треугольников Медиана Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Квадрат Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Высота Средняя линия Равенство фигур Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Многоугольники Прямоугольник Параллелограммы Движения Ромб Комбинации с окружностью
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Множества Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики
Стереометрия
Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Тела вращения Пирамиды Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Двугранный угол
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Квадратные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Интеграл Экстремумы Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства

Отношения в геометрии

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: \(\text{AO}:\text{AM} = 2:1.\)

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: \(MN = \frac{1}{2}\text{BC}\)

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине \(CM = \frac{1}{2}\text{AB}\)

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

\(АО = ОС,\ \ BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, антенна, катается на лыжах Автоматически созданное описание

Прямоугольник или квадрат:

\(АО = ОС = BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, фотография, другой, катается на лыжах Автоматически созданное описание

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника:

\(S_{\text{ACM}} = S_{\text{AMB}} = S\)

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

\(S_{\text{AKO}} = S_{\text{ALO}} = S_{\text{CKO}} = S_{\text{CMO}} = S_{\text{BMO}} = S_{\text{BLO}} = S\)

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\frac{3}{4}S\)

\(S_{\text{AKC}\left( \text{LMB} \right)} = \frac{3}{4}S_{\text{ABM}}\)

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Лемма 1:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

\(S_{\text{ABC}}\sim S_{\text{EKF}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EKF}}} = \left( \frac{\text{AC}}{\text{EF}} \right)^{2} = k^{2}\)

Изображение выглядит как рисунок Автоматически созданное описание

Лемма 2:

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}}\)

\(\frac{S_{\text{EBC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{EC}}{\text{AE}}\)

Лемма 3:

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{AOE}}} = \frac{\text{BE}}{\text{OE}}\)

Изображение выглядит как воздушный змей Автоматически созданное описание

Лемма 4:

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle B}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)

Изображение выглядит как зонт Автоматически созданное описание

Продолжение леммы 4:

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

\(\sin{\angle FBE} = \sin{\left( 180{^\circ} - \angle ABC \right) = \sin{\angle ABC}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle FBE}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)