Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Множества Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Основы комбинаторики Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность
Стереометрия
Сечения в телах вращения Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Пирамиды Призмы Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Однородные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах
Анализ функций
Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Параллелограммы Комбинации с окружностью Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Трапеция Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямоугольник Средняя линия Виды треугольников Многоугольники Медиана Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Квадрат Симметрия Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Треугольники. Площади Ромб Теорема Пифагора Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Метод координат на плоскости Биссектриса Векторы Элементы планиметрии Высота

Текстовые задачи на движение по прямой

Задачи на движение – это задачи, в которых присутствуют такие характеристики движения как скорость, время и расстояние, которые связаны следующей формулой:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Через эту формулу можно выражать скорость и время:

\(\ \vartheta = \frac{S}{t}\)

\(t = \frac{S}{\ \vartheta}\)

Особенность движения по прямой заключается в том, что два объекта могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в разных направления (как разъезжаясь друг от друга, так и двигаясь навстречу).

ДВИЖЕНИЕ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ

В таком случае не важно, двигаются ли объекты друг к другу или расходятся друг от друга, важно, что они идут в разные стороны. Результат остается такой же.

Рассмотрим ситуацию, когда два человека находятся в одной точке и начинают удаляться друг от друга, при этом скорость каждого составляется 5 км\ч. Тогда через один час каждый из них пройдет по 5 км. Значит через один час между ними станет 5 км + 5 км = 10 км:

Еще через час они отдалятся еще на 10 км. То есть через два часа расстояние между ними станет равно 20 км:

То есть при движении в разные стороны общая скорость отдаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей. В данном случае общая скорость равна 10 км\ч:

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2} = 5\ км\backslash ч + 5\ км\backslash ч = 10\ км\backslash ч\)

Таким образом, если нам нужно посчитать, какое расстояние будет между этими объектами через определенное время, нам нужно перемножить их общую скорость и время отдаления.

\(S = \ \vartheta_{общ}t\)

где \(\text{S\ }\)– расстояние между объектами, \(t\) – время, за которое они отдаляются, \(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2}\)

Например, через 3 часа расстояние между этими объектами будет равно:

\(S = 10\ км\backslash ч \bullet 3\ ч = 30\ км\)

То же самое происходит со средней скоростью, когда два объекта находятся на определенном расстоянии и начинают сближаться.

Пример №1:

Два человека находятся на расстоянии 16 км и начинают идти навстречу друг другу. Скорость первого человека равна 3 км\ч, а второго – 5 км\ч. Через сколько часов они встретятся?

  1. Рассмотрим, какова их скорость сближения. Для этого посмотрим, на сколько измениться расстояние между ними за один час:

Получается, что расстояние между двумя людьми уменьшилось за час на 3 + 5 = 8 км\ч, то есть на сумму их скоростей. Так мы убедились, что общая скорость расхождения и сближения объектов равна сумме их скоростей.

  1. Тогда эти люди встретятся, когда общей скоростью пройдут расстояние в 16 км, т. е.:

\(S = t \bullet \vartheta_{общ}\)

\(16\ км = t \bullet 8\ км\backslash ч\)

\(t = 16\ км : 8\ км\backslash ч = 2\ ч\)

Ответ: 2.

ДВИЖЕНИЕ В ОДНУ СТОРОНУ

Если два человека начинают идти из одной точки в одну сторону с разной скорость, то тот, кто идет медленнее начнет отставать от того, кто идет быстрее. Со временем расстояние между ними будет становиться все больше. Каждый час оно будет расти на разность скоростей людей. Эта разность скоростей будет их общей скоростью.

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{2}\ –\vartheta_{1}\)

Например, два человека идут из одной точки в одном направлении. Скорость первого равна 4 км\ч, а скорость второго равна 6 км\ч. То есть быстрый пешеход пройдет 6 км, а медленный 4. Значит между ними останется 2 км:

Еще через час расстояние между ними увеличится еще на 2 км:

Пример №1:

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. Обозначим за \(x\) искомую величину – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна \(x + 40\):

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом расстояние, которое они проезжают, одинаковое. Оно равно расстоянию между городами А и В, т. е. 75 км:

Изображение выглядит как снимок экрана, рисунок Автоматически созданное описание

  1. Тогда выразим время автомобилиста и велосипедиста зная их скорость и расстояние:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом из условия задачи известно, что время, затраченное на этот путь автомобилистом, на 6 часов меньше, чем время велосипедиста. Составим и решим уравнение:

\(\frac{75}{x + 40} + 6 = \frac{75}{x}\)

  1. Приведем все к общему знаменателю, в данном случае \((x + 40)x\). Перенесем се слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{75x}{\left( x + 40 \right)x} + \frac{6\left( x + 40 \right)x}{\left( x + 40 \right)x} = \frac{75\left( x + 40 \right)}{x\left( x + 40 \right)}\)

\(\frac{75x + 6\left( x + 40 \right)x\ –75\left( x + 40 \right)}{\left( x + 40 \right)x} = 0\)

\(\frac{75x + 6x^{2} + 240x\ –\ 75x\ –3000}{\left( x + 40 \right)x} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет, т. е. \(x \neq \ –40\) и \(x \neq 0\), тогда:

\(75x + 6x^{2} + 240x\ –75x\ –3000 = 0\)

\(6x^{2} + 240x\ –3000 = 0\)

\(x^{2} + 40x\ –500 = 0\)

  1. По т. Виета:

\({x_{1} + x_{2} = \ –40 }{x_{1}x_{2} = \ –500}\)

Тогда:

\(\left. \ \frac{x_{1} = \ –50}{x_{2} = 10} \right\rbrack\)

  1. Проверим корни на адекватность. Мы принимали за \(x\) скорость велосипедиста, но скорость не может быть отрицательной, значит ответом будет являться только корень \(x = 10\). Запишем ответ.

Ответ: 10.