Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг
Планиметрия
Прямоугольник Серединный перпендикуляр Биссектриса Ромб Векторы Элементы планиметрии Медиана Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Квадрат Высота Равенство фигур Окружнoсть и круг Многоугольники Комбинации с окружностью Подобие фигур Движения Трапеция Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Средняя линия Площадь круга и сектора круга Треугольники. Площади Отношения в геометрии Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Пифагора Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи
Стереометрия
Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Призмы Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Сечения в многогранниках Угол между плоскостями Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Угол между прямой и плоскостью
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Свойства функций Экстремумы Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций

Движения


ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ

Отображение – понятие в математике, схожее с функцией. С разницей в том, что применяется не к числам, а к геометрическим точкам.

Например, плоскость α отображается на плоскость β, если каждой точке плоскости α соответствует единственная точка плоскости β (то же определение функции, только вместо чисел – точки, а вместо множеств – плоскости, состоящие их этих точек):

Если каждой точке, лежащей на плоскости, соответствует единственная точка на этой же плоскости, такое отображение называется отображением плоскости на себя или наложение:

Таким образом можно сказать, что любая симметрия – это частный случай наложения. Каждая симметрия имеет определенную закономерность в зависимости от вида, например, точки могут отражаться симметрично относительно прямой (осевая симметрия) или симметрично относительно точки (центральная симметрия).

ДВИЖЕНИЕ

Если на плоскости существует несколько точек и они отображаются на эту же плоскость, сохраняя расстояние между этими точками, тогда такое отображение называется движением. Например:

Точки a и b отображаются на плоскость α как a1 и b1 так, что расстояние между исходными точками равно расстоянию между отображенными:

\(AB = A_{1}B_{1}\)

Получается, что движение – это наложение, при котором сохраняется расстояние между точками. В таком случае точка отображается на точку, при этом если точек несколько, то расстояние между ними сохраняется, тогда любая фигура отображается на равную себе же при движении.

Луч отображается в равный луч, отрезок в равный отрезок, треугольник в равный треугольник.

При определении треугольников как равных используют утверждение, что «равные треугольники при наложении совпадают», что следует из определения наложения.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Параллельный перенос – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок параллелен исходному.

Мы используем параллельный перенос для совершения арифметических действий с векторами, чтобы сохранить их длину и направление. Мы как бы поднимаем вектор и не вращая его, переносим в определённую точку:

ПОВОРОТ

Поворот – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок не параллелен исходному.

Например, если бы мы отобразили отрезок так, как будто это тот же отрезок, просто «повернутый» на плоскости:

Отрезок \(\text{AB}\) отобразился в \(AB_{1}\), таким образом, что отрезок \(AB_{1}\) – это поворот отрезка \(\text{AB}\) на угол α.