Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Высота Движения Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Скалярное произведение векторов Многоугольники Подобие фигур Элементы планиметрии Комбинации с окружностью Трапеция Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Ромб Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Метод координат на плоскости Медиана Треугольники. Площади Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Теорема Пифагора Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Виды треугольников Симметрия Серединный перпендикуляр Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Площади четырёхугольников
Реальная математика
Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Множества Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси
Стереометрия
Призмы Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Угол между плоскостями Теорема о трёх перпендикулярах Пирамиды Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Показательные уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения Однородные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней

Прямые и углы на плоскости

Углы, образованные пересечением прямых:

При пересечении двух прямых образуются углы, вершинами которых является общая точка – точка пересечения прямых.

1. Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой. Смежные углы в сумме дают 180° (\(\angle\)1 и \(\angle\)2 или \(\angle\)3 и \(\angle\)4).

2. Вертикальными называются углы, у которых стороны одного угла являются продолжением второго угла. Вертикальные углы равны (\(\angle\)1 и \(\angle\)3 или \(\angle 2\) и \(\angle\)4).

Параллельные прямые

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются, следовательно, не имеют общих точек и углов.

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Свойства параллельных прямых:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

3. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Углы, образованные секущей параллельных прямых:

Сами по себе параллельные прямые не пересекаются, а значит, между ними нет углов, но если пересечь две параллельные прямые секущей, то получится ряд углов, которые обладают определёнными свойствами и названиями.

1. Накрест лежащие углы — это два угла во внутренней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Накрест лежащие углы попарно равны.

Это углы 4 и 6, а также 1 и 7. 

2. Соответственные углы – это два угла, один во внешней области, один во внутренней области, и которые лежат на одной стороне секущей. Соответственные углы равны.

Это углы 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8. 

3. Односторонние углы лежат по одну сторону от всей секущей внутри параллельных прямых. Сумма односторонних углов равна 180°.

Это углы 1 и 6, а также 4 и 7.

Признаки параллельных прямых: 

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 

4. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.