Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Интеграл Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Равенство фигур Теорема Пифагора Многоугольники Прямоугольник Серединный перпендикуляр Средняя линия Движения Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Медиана Виды треугольников Параллелограммы Прямые и углы на плоскости Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Ромб Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Метод координат на плоскости Высота Подобие фигур Биссектриса Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Симметрия Четыре замечательные точки треугольника Теорема синусов и теорема косинусов
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Основы комбинаторики Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Множества Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы
Стереометрия
Двугранный угол Призмы Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Метод координат в пространстве Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Однородные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Тела вращения

Тела вращения – это геометрические тела, образованные вращением геометрической фигуры вокруг оси.

ЦИЛИНДР

Цилиндр – геометрическое тело, образованное двумя кругами, расположенными в параллельных плоскостях, и совмещаемые параллельным переносом.

Образующая – перпендикуляр между окружностями.

Образующие в совокупности составляют боковую поверхность цилиндра. Все образующие цилиндра равны между собой и перпендикулярны основаниям.

Цилиндр можно построить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона прямоугольника станет осью будущего цилиндра, а противоположная и равная ей – станет его образующей:

Разверткой цилиндра является прямоугольник (боковая поверхность цилиндра) и две окружности (его основания):

Площадь поверхности цилиндра равна произведения длины окружности основания на высоту:

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади поверхности цилиндра и площадей основания:

\(S_{полн.} = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)\)

Объем цилиндра равен произведению площади основания на образующую:

\(V = \pi r^{2}h\)

КОНУС

Конус – геометрическое тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в его плоскости, соединенной с каждой точкой его окружности.

Образующая конуса – это отрезок между вершиной конуса и точкой на окружности основания. Все образующие конуса равны.

Конус можно построить вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, которая станет осью для будущего конуса:

Развертка конуса – это сектор большей окружности (боковая поверхность) и окружность поменьше (основание конуса).

Высота конуса – перпендикуляр между вершиной конуса и центром основания.

Площадь боковой поверхности конуса равна трети произведения длины окружности основания на образующую:

\(S_{бок.} = \text{πrl}\)

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = \pi\text{rl} + \pi r^{2}\)

Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}\pi r^{2}H\)

ШАР

Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой.

Сфера – совокупность точек, равноудаленных от центра.

Сфера образована вращением полукруга вокруг диаметра. Диаметр этой окружности становится осью шара:

Развертка шара сложнее, чем у других геометрических тел, потому что у шара совсем нет плоских частей, например оснований. Можно представить развертку шара как перенос изображения нашей планеты с объемного глобуса на плоскую карту. Для этого используют меридианы на глобусе. Если мысленно «разрезать» глобус по каждому меридиану и развернуть его, то мы получим плоскую карту. Так и получают разверту любого шара:

Площадь поверхности шара (или площадь сферы) равна:

\(S_{пов.} = 4\pi r^{2}\)

Объем шара равен:

\(V = \frac{4}{3}\pi r^{3}\)

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ, СЛОЙ И СЕКТОР

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая проведенной через этот шар плоскостью.

Основание шарового сегмента – это окружность, образованная секущей плоскостью при пересечении со сферой.

Высота шарового сегмента – это часть радиуса шара между основанием сегмента и сферой.

Объем сегмента шара с радиусом R равен:

\(V = \pi h^{2}\left( R\ –\ \frac{1}{3}h \right)\)

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Основания шарового слоя – это окружности, образованные секущими плоскостями при пересечении со сферой.

Высота шарового слоя – расстояние между секущими плоскостями.

Объем слоя шара можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Сектор шара – это геометрическое тело, полученное при вращении шарового сегмента вокруг одно из радиусов шара под углом < 90°.

Сектор шара состоит из шарового сегмента и конуса, основания которых совпадают, при этом высота сектора шара равна высоте шарового сегмента, из которого он состоит:

Объем сектора шара с радиусом R равен:

\(V = \frac{2}{3}\pi R^{2}h\)