Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Графическое применение производной Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Первообразная Преобразование графиков функции Экстремумы
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Комбинации с окружностью Трапеция Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Отношения в геометрии Элементы планиметрии Средняя линия Симметрия Квадрат Серединный перпендикуляр Параллелограммы Высота Виды треугольников Теорема Пифагора Окружнoсть и круг Прямоугольник Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Многоугольники Медиана Ромб Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Векторы Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Биссектриса
Реальная математика
Вероятность Сложные проценты Прикладные задачи Основы комбинаторики Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по окружности Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Пирамиды Призмы Метод координат в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Движения в пространстве
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Уравнения с модулем Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Логарифмические уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не параллельны. Для таких прямых не существует плоскости, которая бы их содержала.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно знать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, при том только одну.

\(a ∸ b\) – скрещивающиеся прямые

\(a \in \alpha,\ b \in \beta\)

\(\alpha \parallel \beta\)

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между одной прямой и проекцией другой прямой. Для этого нужно:

  1. Параллельным переносом перенести одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.

  1. Найти угол между прямыми на этой плоскости:

Пример:

Дан куб \(\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите угол между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Сделаем чертеж и обозначим прямые, между которыми нам нужно найти угол:

  1. Так как у куба стороны попарно параллельно, перенесем отрезок \(AD_{1}\) на плоскость \(BB_{1}C_{1}\).

Получим два пересекающихся отрезка \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\), угол между которыми равен углу между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Найдем угол между \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\) – это диагонали стороны куба \(BB_{1}C_{1}C\), а так как все стороны куба являются квадратами, угол между ними равен \(90{^\circ}\):

Ответ: 90°.