Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Движения Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Средняя линия Параллелограммы Метод координат на плоскости Высота Равенство фигур Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Биссектриса Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Ромб Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Многоугольники Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Квадрат Теорема Менелая и теорема Чевы Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Трапеция Медиана Комбинации с окружностью Треугольники. Площади Симметрия Теорема Пифагора
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Множества Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Сложные проценты
Стереометрия
Призмы Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Движения в пространстве Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Однородные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения
Анализ функций
Первообразная Графическое применение производной Преобразование графиков функции Свойства функций Правила дифференцирования Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы

Симметрия

Симметрия – это «отзеркаленное» положение чего-либо.

Симметрия бывает лучевая (через прямую) и центральная (через точку)

ЛУЧЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Линия симметрии – это прямая, по которой что-либо отражается.

Например,

Возьмем лист бумаги и отметим на нём точку. Сложим лист бумаги по линии. Тогда наша точка «отпечатается» на противоположной стороне от нее:

Линия сгиба и будет линией симметрии. Говорят, что точка симметрична относительно данной прямой.

Мы можем отражать любые точки относительно любых прямых, например:

Чтобы каждый раз не складывать мысленно листок бумаги, можно использовать общий принцип образования лучевой симметрии.

Чтобы отразить точку относительно линии симметрии нужно:

  1. Провести перпендикуляр от точки до линии симметрии. Получится отрезок от точки до линии.

  2. Продлить этот отрезок в два раза, чтобы линия симметрии оказалась на его середине.

  3. На конце продленного отрезка будет находиться точка, симметричная данной.

Например,

Отразить фигуру относительно линии симметрии – значит отразить каждую её точку.

Пример №1:

Отразите треугольник относительно заданной линии симметрии.

  1. Чтобы отразить весь треугольник, нужно отразить каждую её точку. Отразим три вершины треугольника.

  2. Проведем от каждой точки перпендикуляр к линии симметрии.

  3. Посчитаем длины этих перпендикуляров до каждой точки:

От точки А – 1 диагональ клетки

От точки В – 2 диагонали клетки

От точки С – 3 диагонали и еще половина

  1. Продлим каждый перпендикуляр на такую же длину. Получили что от каждой точки до их «отражений» будет:

От А – 2 диагонали

От В – 4 диагонали

От С – 7 диагоналей

  1. Соединим получившиеся точки на другой стороне от линии симметрии и получим треугольник симметричный данному.

\(\Delta АВС\ симметричен\ \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по линии симметрии

СИММЕТРИЯ ФИГУР

Симметричная фигура – это фигура, которую можно сложить так, чтобы её вершины совпали.

Линию симметрии внутри фигуры называют осью симметрии.

Например:

Данные фигуры симметричный относительно своих осей симметрии:

А вот эти фигуры несимметричные. У них не осей симметрии такие фигуры называют ассиметричными:

При этом у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре:

А вот у окружности есть бесконечное количество осей симметрии, т.к. любая прямая, проведенная через центр окружности, является осью её симметрии:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.

Такая симметрия выстраивается аналогично лучевой симметрии, только теперь нужно проводить отрезок от точки к точке (без перпендикуляров) и продолжать этот отрезок на такую же длину. Например:

Точка В симметрична точке А относительно точки О.

Если все центральные симметрии фигуры пересекаются в одной точке, то такая точка называется центром фигуры.

Фигура, которая имеет центр, при повороте на 180⁰ совпадает сама с собой.

Например, любой овал или окружность имеют центр:

Прямоугольник и квадрат тоже имеют свои центры: