Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Реальная математика
Основы комбинаторики Комбинаторика Текстовые задачи на производительность Диаграммы, графики и таблицы Метод математической индукции Прикладные задачи Множества Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Текстовые задачи на проценты
Стереометрия
Сечения в многогранниках Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Тела вращения Призмы Элементы и аксиомы стереометрии Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Двугранный угол
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Показательные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью тригонометрического круга Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Линейные уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Метод координат на плоскости Квадрат Биссектриса Многоугольники Комбинации с окружностью Теорема синусов и теорема косинусов Виды треугольников Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Движения Векторы Ромб Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Скалярное произведение векторов Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Высота Средняя линия Площади четырёхугольников Медиана Симметрия Теорема Пифагора Равенство фигур Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Подобие фигур Треугольники. Площади Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Параллельность прямых и плоскостей

Рассмотрим конфигурацию (расположение) прямых, прямой и плоскости, и плоскостей, при которых элементы параллельны друг другу.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные прямые – это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

\(a,\ b \in \alpha\)

\(a \parallel b\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:

  1. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

  1. Теорема о трёх прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

\(\left. \ \frac{a \parallel c}{b \parallel c} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)

  1. Лемма о пересечении плоскостью параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

\(\left. \ \frac{a \cap \alpha}{a \parallel b} \right\} \Longrightarrow b \cap \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{b \in \alpha} \right\} \Longrightarrow a \parallel \alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

\(\left. \ \begin{matrix} \ \\ a \in \alpha \\ a\ ||\ \beta \\ a \cap \beta = b \\ \ \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a||b\)

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, ЛИБО лежит в этой плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a \parallel \alpha} \right\} \Longrightarrow b \parallel \alpha\ ИЛИ\ b \in \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} a,\ c \in \alpha \\ b,\ d \in \beta \\ a\ ||\ b \\ с\ ||\ в \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \alpha\ ||\ \beta\)

Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)