Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Пирамиды
Уравнения
Однородные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Линейные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Уравнения с модулем
Анализ функций
Экстремумы Графическое применение производной Смысл производной Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Трапеция Симметрия Средняя линия Серединный перпендикуляр Квадрат Векторы Многоугольники Теорема Пифагора Прямоугольник Ромб Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Высота Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Движения Отношения в геометрии Комбинации с окружностью Биссектриса Элементы планиметрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Простейшие расстояния на плоскости
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на производительность Метод математической индукции Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Основы комбинаторики

Параллельность прямых и плоскостей

Рассмотрим конфигурацию (расположение) прямых, прямой и плоскости, и плоскостей, при которых элементы параллельны друг другу.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные прямые – это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

\(a,\ b \in \alpha\)

\(a \parallel b\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:

  1. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

  1. Теорема о трёх прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

\(\left. \ \frac{a \parallel c}{b \parallel c} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)

  1. Лемма о пересечении плоскостью параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

\(\left. \ \frac{a \cap \alpha}{a \parallel b} \right\} \Longrightarrow b \cap \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{b \in \alpha} \right\} \Longrightarrow a \parallel \alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

\(\left. \ \begin{matrix} \ \\ a \in \alpha \\ a\ ||\ \beta \\ a \cap \beta = b \\ \ \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a||b\)

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, ЛИБО лежит в этой плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a \parallel \alpha} \right\} \Longrightarrow b \parallel \alpha\ ИЛИ\ b \in \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} a,\ c \in \alpha \\ b,\ d \in \beta \\ a\ ||\ b \\ с\ ||\ в \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \alpha\ ||\ \beta\)

Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)