Показательные уравнения

Существует несколько методов решения показательных уравнений в зависимости от их вида. Разберём некоторые из них.

ПЕРВЫЙ ВИД ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

\(a^{f(x)} = b\)

где \(a\) и \(b\) – некоторые числа

Используют метод приведения к одному основанию.

Решите уравнение.

\(2^{x\ –\ 7} = \frac{1}{16}\)

1. Приводим обе части уравнения к одному основанию. В данном случае к основанию, равному 2:

\(2^{x\ –\ 7} = \frac{1}{16}\)

\(2^{x\ –\ 7} = \frac{1^{4}}{2^{4}}\)

\(2^{x\ –\ 7} = {(2^{- 1})}^{4}\)

\(2^{x\ –\ 7} = 2^{–4}\)

2. При общем основании приравниваем показатели обеих частей:

\(2^{x\ –\ 7} = 2^{–4} \Longrightarrow x\ –\ 7 = \ –4\)

3. Решаем получившееся уравнение:

\(x = 3\)

Ответ: 3.

ВТОРОЙ ВИД ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

\(a^{f(x)} = b^{f(x)}\)

где a и b – некоторые числа

В таких случаях делят обе части уравнения на одну из его сторон.

Решите уравнение.

\(2^{5x\ –\ 9} = 0,4 \bullet 5^{5x\ –\ 9}\)

1. Поделим обе части уравнения на \(5^{5x\ –\ 9}\):

2. Преобразуем уравнение с помощью свойств степеней:

\(\left( \frac{2}{5} \right)^{5x\ –\ 9} = 0,4\)

\({0,4}^{5x\ –\ 9} = 0,4\)

3. При равных основаниях приравняем показатели степеней:

\(5x\ –\ 9 = 1\)

4. Решим линейное уравнение:

\(5x\ = \ 10\)

\(x = 2\)

Ответ: 2.

ТРЕТИЙ ВИД ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

\(a^{2f(x)} + a^{f(x)} + c = 0\)

где \(a\) и \(c\) – некоторые числа

В таком случае применяется метод замены переменной и переход к квадратному уравнению.

Решите уравнение.

\(4^{x}\ –\ {10 \bullet 2}^{x} + 16 = 0\)

1. Чтобы привести уравнение в виду

\(a^{2f(x)} + b^{f(x)} + c = 0\), используем свойства степеней:

\(4^{x} = {{(2}^{2})}^{x} = 2^{2x}\)

\(2^{2x}\ –\ {10 \bullet 2}^{x} + 16 = 0\)

2. Заменим выражение, содержащее переменную.

Пусть \(2^{x} = t\), тогда:

\(t^{2}\ –\ 10t + 16 = 0\)

3. Решим квадратное уравнение через т. Виета:

4. Произведем обратную замену:

5. Решим простейшие показательные уравнения:

Ответ: 1; 3.