Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Подобие фигур Движения Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Квадрат Трапеция Равенство фигур Многоугольники Медиана Ромб Биссектриса Векторы Отношения в геометрии Скалярное произведение векторов Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Параллелограммы Комбинации с окружностью Окружнoсть и круг Элементы планиметрии Треугольники. Площади Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Высота Средняя линия
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по прямой Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики
Стереометрия
Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Теорема о трёх перпендикулярах Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Расстояние от точки до плоскости Пирамиды Призмы Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения
Уравнения
Методы решения уравнений Логарифмические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Экстремумы Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства

Графики тригонометрических функций

Рассмотрим графики и свойства тригонометрических функций и обратных им.

СИНУС:

Синус – функция вида \(y = \sin x.\)

Графиком этой функции является синусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНУСА:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{наим.}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\ \pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

\(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\pi;2\pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность:

Возрастает при: \(x \in \left( –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Убывает при: \(x \in \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
7. Экстремумы:

\(y_{\max}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{\min}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: \(Период = 2\pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке (\(0;0)\)

КОСИНУС:

Косинус – функция вида \(y = \cos x\).

Графиком этой функции является косинусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\ \)при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{наим.}\) при: \(x \in \pi + \pi k\), k\(\in\)ℤ
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y < 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность:

Возрастает при: \(x \in (\pi;\ 2\pi) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

Убывает при: \(x \in \left( 0;\pi \right) + 2\pi k,\ \ k \in \mathbb{Z}\)
7. Экстремумы:

\(y_{\max}\) при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{\min}\) при: \(x \in \pi + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
8. Четность: Четная
9. Периодичность: \(Период\ = \ 2\pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x\ = \ \frac{\pi}{2} + \ \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;1)\)

ТАНГЕНС:

Тангенс – функция \(вида\ y = \text{tg}\ x\ \).

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность:

Неограничена;

Имеет асимптоты точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\ \)при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ 0) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность: Возрастает между всеми асимптотами
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: \(Период\ = \ \pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

КОТАНГЕНС:

Котангенс – функция вида \(y = \text{ctg}\ x.\)

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ x \neq \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность:

Неограничена;

Имеет асимптоты в точках \(\ x = \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\pi) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
4. Монотонность: Убывает между всеми асимптотами
7. Экстремумы: нет
5. Четность: Нечетная
6. Периодичность: \(Период = \pi\)
7. Пересекает ось Ох В точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
8. Пересекает ось Оу Не пересекает ось

АРКСИНУС:

Арксинус – функция вида \(y = \arcsin x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
2. Область значения: \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена со всех сторон; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\) при: \(x = 1\)

\(y_{наим.}\) при: \(x = \ –1\)
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\) при: \(x \in (0;1)\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–1;0)\ \)
6. Монотонность: Возрастает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке\(\ (0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

АРККОСИНУС:

Арккосинус – функция \(вида\ y = \arccos x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
2. Область значения: \(E(y) = (0;\ \pi)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена со всех сторон
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.\ }\) при: \(x = \ –1\)

\(y_{наим.}\) при: \(x = 1\)
5. Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) при: \(x \in (–1;1)\)
6. Монотонность: Убывает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке \((1;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;\frac{\pi}{2})\)

АРКТАНГЕНС:

Арктангенс – функция вида \(y = \text{arctg}\ x.\)

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ \mathbb{R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\ \)при: \(x \in (0; + \infty)\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–\infty;0)\ \)
6. Монотонность: Возрастает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке \((0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

АРККОТАНГЕНС:

Арккотангенс – функция вида \(y = \text{arcctg}\ x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ \mathbb{R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0;\ \pi)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) при: \(x \in \mathbb{R}\)
6. Монотонность: Убывает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;\ \frac{\pi}{2})\)