Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Пирамиды Метод координат в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Тела вращения Двугранный угол Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Логарифмические уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения
Анализ функций
Экстремумы Графическое применение производной Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Преобразование графиков функции Интеграл
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Комбинации с окружностью Виды треугольников Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Подобие фигур Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Векторы Квадрат Высота Ромб Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Медиана Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Трапеция Окружнoсть и круг Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Площади четырёхугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Многоугольники Симметрия Биссектриса
Реальная математика
Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по окружности Множества

Графики тригонометрических функций

Рассмотрим графики и свойства тригонометрических функций и обратных им.

СИНУС:

Синус – функция вида \(y = \sin x.\)

Графиком этой функции является синусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНУСА:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{наим.}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\ \pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

\(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\pi;2\pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность:

Возрастает при: \(x \in \left( –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Убывает при: \(x \in \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
7. Экстремумы:

\(y_{\max}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{\min}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\)
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: \(Период = 2\pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке (\(0;0)\)

КОСИНУС:

Косинус – функция вида \(y = \cos x\).

Графиком этой функции является косинусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\ \)при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{наим.}\) при: \(x \in \pi + \pi k\), k\(\in\)ℤ
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y < 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность:

Возрастает при: \(x \in (\pi;\ 2\pi) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

Убывает при: \(x \in \left( 0;\pi \right) + 2\pi k,\ \ k \in \mathbb{Z}\)
7. Экстремумы:

\(y_{\max}\) при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y_{\min}\) при: \(x \in \pi + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
8. Четность: Четная
9. Периодичность: \(Период\ = \ 2\pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x\ = \ \frac{\pi}{2} + \ \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;1)\)

ТАНГЕНС:

Тангенс – функция \(вида\ y = \text{tg}\ x\ \).

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность:

Неограничена;

Имеет асимптоты точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\ \)при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ 0) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
6. Монотонность: Возрастает между всеми асимптотами
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: \(Период\ = \ \pi\)
10. Пересекает ось Ох В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

КОТАНГЕНС:

Котангенс – функция вида \(y = \text{ctg}\ x.\)

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ x \neq \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\)
2. Область значения: \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность:

Неограничена;

Имеет асимптоты в точках \(\ x = \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\pi) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\)
4. Монотонность: Убывает между всеми асимптотами
7. Экстремумы: нет
5. Четность: Нечетная
6. Периодичность: \(Период = \pi\)
7. Пересекает ось Ох В точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\)
8. Пересекает ось Оу Не пересекает ось

АРКСИНУС:

Арксинус – функция вида \(y = \arcsin x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
2. Область значения: \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена со всех сторон; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.}\) при: \(x = 1\)

\(y_{наим.}\) при: \(x = \ –1\)
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\) при: \(x \in (0;1)\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–1;0)\ \)
6. Монотонность: Возрастает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке\(\ (0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

АРККОСИНУС:

Арккосинус – функция \(вида\ y = \arccos x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОСИНУСА:

1. Область определения: \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\)
2. Область значения: \(E(y) = (0;\ \pi)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена со всех сторон
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:

\(y_{наиб.\ }\) при: \(x = \ –1\)

\(y_{наим.}\) при: \(x = 1\)
5. Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) при: \(x \in (–1;1)\)
6. Монотонность: Убывает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке \((1;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;\frac{\pi}{2})\)

АРКТАНГЕНС:

Арктангенс – функция вида \(y = \text{arctg}\ x.\)

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ \mathbb{R}\)
2. Область значения: \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y > 0\ \)при: \(x \in (0; + \infty)\)

\(y < 0\) при: \(x \in (–\infty;0)\ \)
6. Монотонность: Возрастает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох В точке \((0;0)\)
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;0)\)

АРККОТАНГЕНС:

Арккотангенс – функция вида \(y = \text{arcctg}\ x\).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОТАНГЕНСА:

1. Область определения: \(D(y):\ \mathbb{R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0;\ \pi)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Нет
5. Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) при: \(x \in \mathbb{R}\)
6. Монотонность: Убывает
7. Экстремумы: нет
8. Четность: Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность: Не периодична
10. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
11. Пересекает ось Оу В точке \((0;\ \frac{\pi}{2})\)