Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Равенство фигур Подобие фигур Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Комбинации с окружностью Средняя линия Теорема Пифагора Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Медиана Треугольники. Площади Симметрия Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Серединный перпендикуляр Ромб Параллелограммы Виды треугольников Многоугольники Метод координат на плоскости Квадрат Прямые и углы на плоскости Высота Биссектриса Движения Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга
Реальная математика
Комбинаторика Сложные проценты Прикладные задачи Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Основы комбинаторики
Стереометрия
Метод координат в пространстве Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве Двугранный угол Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Пирамиды Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Движения в пространстве Призмы Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Показательные уравнения Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Логарифмические уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Преобразование графиков функции Интеграл
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

Показательная функция – это функция вида \(y = a^{x}\), где \(a > 0,\ a \neq 1\).

– При \(a > 1\) показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике \(a = 2\).

– При \(0 < a < 1\ \)показательная функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0; + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена снизу
4. Наибольшее и наименьшее значения Нет
5. Монотонность:

Возрастает при

\(a > 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
6. Четность: Ни четная, ни нечетная
7. Периодичность: Не периодичная
8. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
9. Пересекает ось Оу В точке (0; 1)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1:

Найдите значение выражения.

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}\)

1. Представим это выражение в виде дроби:

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

\(\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

\({\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8

Пример №2:

Найдите значение выражения.

\(\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}\)

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

\(\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}\)

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}\)

3. Сократим дробь:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7\)

Ответ: 7.

Пример №3:

Найдите значение выражения.

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}\)

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}\)

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

\(a^{2} = 12^{2} = 144\)

Ответ: 144.