Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Равенство фигур Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Трапеция Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Метод координат на плоскости Квадрат Движения Элементы планиметрии Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Скалярное произведение векторов Симметрия Ромб Виды треугольников Многоугольники Медиана Треугольники. Площади Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Отношения в геометрии Теорема Пифагора Комбинации с окружностью Средняя линия Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Высота
Реальная математика
Основы комбинаторики Вероятность Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Сложные проценты
Стереометрия
Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Пирамиды Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Призмы Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Двугранный угол
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Логарифмические уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Уравнения в целых числах
Анализ функций
Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Смысл производной
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

Показательная функция – это функция вида \(y = a^{x}\), где \(a > 0,\ a \neq 1\).

– При \(a > 1\) показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике \(a = 2\).

– При \(0 < a < 1\ \)показательная функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0; + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена снизу
4. Наибольшее и наименьшее значения Нет
5. Монотонность:

Возрастает при

\(a > 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
6. Четность: Ни четная, ни нечетная
7. Периодичность: Не периодичная
8. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
9. Пересекает ось Оу В точке (0; 1)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1:

Найдите значение выражения.

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}\)

1. Представим это выражение в виде дроби:

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

\(\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

\({\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8

Пример №2:

Найдите значение выражения.

\(\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}\)

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

\(\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}\)

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}\)

3. Сократим дробь:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7\)

Ответ: 7.

Пример №3:

Найдите значение выражения.

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}\)

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}\)

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

\(a^{2} = 12^{2} = 144\)

Ответ: 144.