Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Планиметрия
Отношения в геометрии Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Параллелограммы Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Векторы Равенство фигур Прямоугольник Высота Средняя линия Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Медиана Элементы планиметрии Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Метод координат на плоскости Прямые и углы на плоскости Биссектриса Движения Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Простейшие расстояния на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Многоугольники Ромб Площадь круга и сектора круга
Реальная математика
Вероятность Множества Метод математической индукции Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Сложные проценты Текстовые задачи на проценты
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Двугранный угол Пирамиды Призмы Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве
Уравнения
Квадратные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Показательные уравнения
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Интеграл Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

  1. Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.

  2. Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.

  3. Определяем корни, попадающие в эту дугу.

  4. Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

  1. При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

  1. Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.

  2. Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от \(- \pi\) до \(\frac{3\pi}{2}\), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\);\(\ \frac{2\pi}{3}\).

Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.