Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Многоугольники Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Биссектриса Движения Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Высота Средняя линия Подобие фигур Виды треугольников Отношения в геометрии Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Векторы Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Треугольники. Площади Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Окружнoсть и круг Медиана Ромб Трапеция Элементы планиметрии
Реальная математика
Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции Вероятность Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Множества Основы комбинаторики
Стереометрия
Векторы в пространстве Тела вращения Призмы Сечения в многогранниках Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Движения в пространстве Двугранный угол Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями
Уравнения
Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Показательные уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными
Анализ функций
Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Интеграл Экстремумы Первообразная Графическое применение производной
Неравенства
Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

  1. Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.

  2. Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.

  3. Определяем корни, попадающие в эту дугу.

  4. Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

  1. При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

  1. Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.

  2. Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от \(- \pi\) до \(\frac{3\pi}{2}\), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\);\(\ \frac{2\pi}{3}\).

Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.