Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней
Планиметрия
Высота Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Многоугольники Параллелограммы Прямые и углы на плоскости Равенство фигур Элементы планиметрии Медиана Симметрия Прямоугольник Биссектриса Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Метод координат на плоскости Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема синусов и теорема косинусов Движения Теорема Пифагора Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Комбинации с окружностью Средняя линия Векторы Ромб Серединный перпендикуляр
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на проценты Множества Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве Двугранный угол Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между плоскостями Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Элементы и аксиомы стереометрии Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей
Уравнения
Линейные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Показательные уравнения Однородные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Интеграл Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Преобразование графиков функции
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)