Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)