Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Призмы Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Векторы в пространстве Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Двугранный угол Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Теорема о трёх перпендикулярах
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Линейные уравнения Уравнения в целых числах Показательные уравнения Уравнения с модулем Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Однородные уравнения Логарифмические уравнения
Анализ функций
Первообразная Графическое применение производной Интеграл Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Трапеция Симметрия Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Ромб Комбинации с окружностью Подобие фигур Площади четырёхугольников Виды треугольников Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Движения Простейшие расстояния на плоскости Высота Теорема Пифагора Многоугольники Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Биссектриса Площадь круга и сектора круга Векторы Равенство фигур Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Параллелограммы
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Множества Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Вероятность Комбинаторика Сложные проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции

Однородные уравнения

На этом уроке мы рассмотрим довольно сложные уравнения, которые называются однородными на примерах тригонометрических и показательных уравнений.

Знакомство с однородными уравнениями мы начнем с рассмотрения следующих примеров:

\(4^{x} - 3^{x} = 0\)

\(5\sin x + 3\cos x = 0\)

Подобные уравнения называют однородными.

Однородное уравнение – это уравнение с двумя переменными без свободного коэффициента, а в каждом из слагаемых наблюдается одинаковая сумма степеней.

Способ решения – деление на одну из функций с учетом, что она не равна нулю.

\(f\left( x \right) + g(x) = 0/:f(x) \neq 0\)

Посмотрим на данное тригонометрическое уравнение.

Задание №1.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\)

Решение.

Давайте его проанализируем. Имеем две разные тригонометрические функции.

Чтобы решить уравнение, мы должны свести его к одной функции. Существует множество формул, позволяющие комбинировать разные типы функций между собой, но нам они не понадобятся, так как будем пользоваться особым способом: поделим левую и правую часть уравнения на одну из этих функций, например, на косинус.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Но давайте поразмыслим, почему мы можем взять и поделить на косинус, ведь исходя из равносильности преобразований, мы не можем делить на выражения, содержащие переменную. Предположим, что косинус равен нулю, и подставим в уравнение ноль.

\(2\sin x + 3 \bullet 0 = 0\)

\(2\sin x = 0\)

Получим, что синус будет равен тоже нулю. Но такое невозможно, так как одновременно и косинус, и синус при одном значении угла равны нулю. В таком случае Основное тригонометрическое тождество не выполняется.

Поэтому мы в данном случае и можем делить на одну из функций.

Продолжим, синус, деленный на косинус, это тангенс.

\(\frac{2\sin x}{cosx} + \frac{3\cos x}{cosx} = 0\)

Во втором слагаемом косинусы сокращаются, получаем просто тройку. Заметим, что теперь у нас фигурирует только тангенс, то есть мы свели к одной тригонометрической функции.

\(2\text{tg}x + 3 = 0\ \)

Имеем значение тангенса, поэтому найдем угол, воспользовавшись обратной функцией. И запишем ответ

\(\text{tg}x = - \frac{3}{2}\ \)

\(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Ответ: \(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\).

Подобные тригонометрические уравнения, в которых есть 2 разные функции в первой степени и которые не имеют свободного коэффициента, называются однородными первой степени.

Метод решения однородных тригонометрических уравнений – деление на одну из функций, к примеру косинус. Не забываем добавлять, что косинус не равен нулю.

\(a\sin x + bcos\ x = 0\)

\(a\sin x + b\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Далее рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение, но уже второй степени. Однородные уравнения второй степени содержат 3 слагаемых, два из которых – это – 2 разные функции во второй степени, а третье – произведение этих разных функций первой степени, то есть в итоге каждое слагаемое будет иметь вторую степень.

Способ решения точно такой же – делим уравнение, но уже на квадрат функции.

\(f^{2}(x) + f\left( x \right) \bullet g(x) + g^{2}(x) = 0/:f^{2}(x) \neq 0\)

Рассмотрим следующее задание.

Задание №2.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\)

Решение.

Теперь у нас первое и третье слагаемое второй степени, а второе содержит синус и косинус первой степени. В такой ситуации поступают почти аналогичным образом – делят на косинус, но уже во второй степени, который не равен нулю.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\ /:\cos^{2}x \neq 0\)

Заметим, что у нас получится снова уравнение, содержащее только одну функцию – тангенс. Правда, если мы произведем замену и введем новую переменную вместо тангенса, то получим квадратное уравнение относительно переменной, например, t.

\(\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{3\sin x\cos x}{\cos^{2}x} + \frac{2\cos^{2}x}{\cos^{2}x} = 0\)

\(\text{tg}^{2}x + 3\text{tg}x + 2 = 0\)

\(t^{2} + 3t + 2 = 0\)

\(\text{tg}x = t\)

Решить квадратное уравнение нам поможет второе следствие из теоремы Виета, которое гласит, что если сумма коэффициентов a и c равна коэффициенту b, то первый корень равен -1, а второй минус c, деленный на a. Таким образом значения тангенса будут -1 и -2.

\(\text{tg}x = - 1\ и\ tgx = - 2\)

Осталось найти сами корни:

\(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Вот и вся работа! Вместо большого и сложного уравнения мы решили квадратное и два простейших тригонометрических. Хотя однородные уравнения и могут выглядеть неприятно на первый взгляд, но решать их легко, если знать как.

Ответ: \(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ и\ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Продолжим работу с похожими, но уже показательными однородными уравнениями.

Задание №3.

\(3 \bullet 16^{x} - 5 \bullet 36^{x} + 2 \bullet 81^{x} = 0\)

Решение.

Проблема данного показательного уравнения состоит в том, что мы теперь не можем поделить до красивого сокращения, как делали в тригонометрии ранее, поскольку результат деления нам даст три разных слагаемых, и не получится единый вид.

\(3 \bullet \frac{16^{x}}{16^{x}} - 5 \bullet \frac{36^{x}}{16^{x}} + 2 \bullet \frac{81^{x}}{16^{x}} = 0\)

Значит, нам следует изначально преобразовать исходное уравнение. Пользуясь свойствами степеней, мы способны изменить каждое слагаемое и привести к новому виду:

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0\)

Показательная функция не равняется нулю, значит мы сейчас можем поделить на \(4^{2x}\) или \(9^{2x}\) , при этом корни мы не потеряем.

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0/:\ 4^{2x}\)

Получим следующий вид:

\(3 \bullet \frac{4^{2x}}{4^{2x}} - 5 \bullet 4^{x} \bullet \frac{9^{x}}{4^{2x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

\(3 - 5 \bullet \frac{9^{x}}{4^{x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

Теперь произведем стандартный прием замены.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = t,\ t > 0\)

И получим обыкновенное квадратное уравнение.

\(2 \bullet t^{2} - 5 \bullet t + 3 = 0\)

Решив уравнение, получим \(t = \frac{3}{2}\ и\ t = 1\). Оба корня подходят под ограничения.

Проводим обратную замену для обоих значений.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ {(\frac{9}{4})}^{x} = 1\)

Решаем показательные простейшие уравнения

\({(\frac{3}{2})}^{2x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(2x = 1\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(x = 0,5\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

На это решение однородного показательного уравнения закончилось, и мы получили ответ. Сначала мы чуть-чуть преобразовали исходное уравнение, затем поделили на функцию и произвели замену, а далее все стандартно.

Ответ:\(\ x = 0,5\ \ \ x = 0\).

Подведем итог, в данном разделе мы рассмотрели, что же такое однородное уравнение; основные признаки однородных уравнений: в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями (то есть две разные функции), все одночлены имеют одинаковую степень (для этого считаем сумму слагаемых), а свободный член равен нулю; разобрали 2 вида уравнений: тригонометрические и показательные. Основная идея решения таких уравнений – деление на функции, при этом не теряя корней, об этом не стоит забывать!