Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Квадратные уравнения
Анализ функций
Интеграл Экстремумы Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Графики тригонометрических функций
Неравенства
Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Треугольники. Площади Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Квадрат Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Элементы планиметрии Движения Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Биссектриса Виды треугольников Многоугольники Симметрия Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Медиана Метод координат на плоскости Трапеция Векторы Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Скалярное произведение векторов Высота Средняя линия Теорема Пифагора
Реальная математика
Вероятность Комбинаторика Метод математической индукции Основы комбинаторики Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Текстовые задачи на движение по воде
Стереометрия
Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Двугранный угол Пирамиды Призмы Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.