Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Стереометрия
Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Призмы Двугранный угол Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми
Уравнения
Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения
Анализ функций
Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Первообразная Интеграл Графики тригонометрических функций Графическое применение производной Смысл производной Преобразование графиков функции
Неравенства
Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени
Планиметрия
Векторы Прямоугольник Серединный перпендикуляр Высота Медиана Метод координат на плоскости Движения Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Четыре замечательные точки треугольника Теорема Пифагора Трапеция Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Средняя линия Подобие фигур Треугольники. Площади Ромб Равенство фигур Окружнoсть и круг Комбинации с окружностью Биссектриса Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Симметрия Параллелограммы
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Метод математической индукции Множества Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на проценты

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.