Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Уравнения с модулем Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Анализ функций
Правила дифференцирования Первообразная Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Графическое применение производной Смысл производной Интеграл
Неравенства
Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Ромб Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Метод координат на плоскости Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Высота Движения Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Равенство фигур Многоугольники Параллелограммы Биссектриса Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Средняя линия Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Отношения в геометрии Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Подобие фигур Трапеция Векторы Медиана Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Комбинаторика Множества Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Тела вращения Призмы Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Векторы в пространстве

Сечения в многогранниках

Сечение – планиметрическая фигура, образованная рассечением объемного тела.

Сечение должно образовывать единую фигуру (быть замкнутым). Построение сечения делается по строгим правилам и принципам, которые, в свою очередь, основываются на аксиомы и теоремы стереометрии.

Сечения многогранников

Сечение многогранника плоскостью - плоский многоугольник, у которого:

  • вершины принадлежат ребрам,

  • а стороны – граням многогранника.

Две соседние вершины сечения принадлежат одной грани многогранника.

Принципы построения сечения многогранников

  1. Если две точки сечения принадлежат одной грани, то эти точки можно соединить.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

  • Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Примеры:

  1. Если известна линия, по которой плоскость пересекает одну из параллельных граней, то вторую грань плоскость пересечет по линии, параллельной данной.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

  • Две параллельные прямые образуют плоскость и притом только одну.

  • Через точку можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

  • Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Большое значение для этого принципа имеет именно третье свойство – свойство параллельных плоскостей.

Пример:

МЕТОД СЛЕДОВ

Особенным методом построения сечений в многогранниках является метод следов. Для начала разберемся, что такое «след».

След – прямая l

След плоскости \(\mathbf{\text{\ β}}\) на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – прямая, по которой плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\).

След – точка M

След прямой l на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – точка пересечения прямой l с плоскостью \(\alpha\).

Суть метода: уже известные стороны сечения на гранях многогранника мы продолжаем за пределы стереометрической фигуры до пересечения с ребрами многогранника. Благодаря этому мы получаем «следы» этих прямых на гранях многогранника, то есть точки. Получив две точки на одной грани, мы, воспользовавшись первым принципом, можем их соединить.

Пример: