Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени
Планиметрия
Движения Отношения в геометрии Медиана Средняя линия Теорема Пифагора Прямоугольник Ромб Метод координат на плоскости Высота Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Виды треугольников Окружнoсть и круг Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Подобие фигур Векторы Элементы планиметрии Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Прямые и углы на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Симметрия Квадрат Комбинации с окружностью
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы комбинаторики Текстовые задачи на движение по воде Комбинаторика Сложные проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Множества
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Двугранный угол Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Расстояние от прямой до плоскости Движения в пространстве Призмы Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии
Уравнения
Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Уравнения высших степеней Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения в целых числах Однородные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения
Анализ функций
Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Интеграл

Системы и совокупности уравнений с одной переменной

СИСТЕМА:

Ключевым моментом в решении систем уравнений является понимание самой сути системы. Система означает, что необходимо учитывать решения нескольких уравнений или нескольких неравенств при записи решения. То есть нужно решить и первое, и второе уравнение/неравенство, ответом самой системы будет пересечение этих ответов.

Рассмотрим несколько простейших систем.

\(\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ x = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \varnothing\)

Решением системы являются все значения переменной, при которых выполняются все перечисленные условия. Может ли x одновременно равняться и 2, и 5? Нет, поэтому у этой системы решений нет.

Часто системы усложняются неравенствами.

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x = 5\)

В этой системе требуется, чтобы x был одновременно и равен 5, и был больше 2. При каких значениях это возможно? Только при \(x = 5\).

Рассмотрим ещё одну систему:

\(\left\{ \begin{matrix} x < 2 \\ x > 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \varnothing\)

Мы видим 2 отрезка, у которых нет пересечения, поэтому корней данная система не имеет.

СОВОКУПНОСТЬ:

Также иногда вам придётся работать с совокупностью. Совокупность предполагает вариативность: может выполняться ИЛИ то, ИЛИ другое условие.
Например:

В ответ пойдут обе точки: и 2, и 5. Обратите внимание, что если у нас в ответе конечное количество точек, то их принято писать в фигурных скобочках.

Там подходят или 5, или те x, которые больше 2. Но 5 больше 2, значит, нам просто подходит промежуток от 2 до бесконечности.

Здесь мы будем рассматривать объединение: если x является корнем хотя бы одного уравнения, неравенства из совокупности, значит, он уже является решением.

КОМБИНАЦИИ СИСТЕМ И СОВОКУПНОСТЕЙ:

Но и это ещё не всё. Иногда совокупность включает в себя систему или система включает себя совокупность. Давайте посмотрим.

Такая ситуация называется «совокупность двух систем». То есть в ответ пойдут все x, которые удовлетворяют первой системе, и все x, которые удовлетворяют второй системе. Поэтому для того, чтобы её решить, нужно сначала решить внутренние системы, а затем в ответ написать все полученные в них корни.

Следующий пример немного другой:

Итак, у нас есть система. Это означает, что должно выполняться 2 условия:

1. x должен быть больше 2.

2. x должен быть равен либо 1, либо 5.

В таких случаях необходимо рассмотреть каждый корень из второго условия на соответствие первому, то есть перейти к совокупности двух систем.