Формулы тригонометрии

Основные тригонометрические формулы:

\(sin²\alpha\ + \ cos²\alpha\ = \ 1\)

\(tg\ a = \frac{\sin a}{\cos a}\), \(a \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z\)

\(ctg\ a = \frac{\cos a}{\sin\text{a\ }},\ a \neq \pi n,\ n \in Z\)

\(tg\ a \cdot ctg\ a = 1,\ a \neq \frac{\text{πn}}{2},\ n \in Z\)

\(1 + tg^{2}a = \frac{1}{\cos^{2}a},\ a \neq \frac{\pi}{2},\ n \in Z\)

\(1 + ctg^{2}a = \frac{1}{\sin^{2}a},\ a \neq \pi n,\ n \in Z\)

Найти значение выражения: \(5\sin^{2}{5x\ } + 5\cos^{2}{5x}\)

Решение.

Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:

\(\sin^{2}{5x\ } + \cos^{2}{5x} = 1\)

\(5\sin^{2}{5x\ } + 5\cos^{2}{5x} = 5\left( \sin^{2}{5x} + \cos^{2}{5x} \right) = 5 \cdot 1 = 5\)

Найти значение выражения \(\frac{\cos^{2}x}{1 + tg^{2}x}\) при \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Решение.

Из основного тригонометрического тождества \(\text{si}n^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1\ \) следует:

\(1 + tg^{2}a = \frac{1}{\cos^{2}a},\ \) подставим в выражение:

\(\frac{\cos^{2}x}{1 + tg^{2}x} = \frac{\cos^{2}x}{\frac{1}{\cos^{2}a}} = \cos^{4}x = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{4} = \frac{1}{4} = 0,25\)

Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов:

Синус суммы \(sin(\alpha\ + \ \beta)\ = \ sin\alpha \cdot cos\beta\ + \ cos\alpha \cdot sin\beta\)

Синус разности \(sin(\alpha\ - \ \beta)\ = \ sin\alpha \cdot cos\beta\ - \ cos\alpha \cdot sin\beta\)

Косинус суммы \(cos(\alpha\ + \ \beta)\ = \ cos\alpha \cdot cos\beta\ –\ sin\alpha \cdot sin\beta\)

Косинус разности \(cos(\alpha\ –\ \beta)\ = \ cos\alpha \cdot cos\beta\ + \ sin\alpha \cdot sin\beta\)

Тангенс суммы \(\text{tg}\left( \alpha + \beta \right) = \frac{tg\ \alpha + tg\ \beta}{1 - tg\ \alpha \cdot tg\ \beta},\ \alpha,\ \beta,\ \alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z\)

Тангенс разности \(\text{tg}\left( \alpha - \beta \right) = \frac{tg\ \alpha - tg\ \beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\ \beta},\ \ \alpha,\ \beta,\ \alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z\)

Вычислить \(\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\ \sin\ 105{^\circ}\)

Решение.

\(\sin{105{^\circ}} = \sin{(60{^\circ} + 45{^\circ})} = \sin{60{^\circ}} \cdot \cos{45{^\circ}} + \cos{60{^\circ}} \cdot \sin{45{^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}).\ \)

\(\sqrt{2}\left( 1 - \sqrt{3} \right)\sin{105{^\circ}} = \sqrt{2}\ \left( 1 - \sqrt{3} \right)\frac{\sqrt{2}}{4}\left( 1 + \sqrt{3} \right) = \frac{1}{2}(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2}\ ) = 0,5 \bullet ( - 2) = - 1.\)

Вычислить \({\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\cos}\frac{13\pi}{12}\)

Решение.

\(\cos\frac{13\pi}{12} = \cos{(\frac{3\pi}{4} +}\ \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{3\pi}{4} \bullet \cos\frac{\pi}{3} - \ \sin\frac{3\pi}{4} \bullet \sin\frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet \frac{1}{2}\ - \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet \frac{\sqrt{3}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}\)).

\({\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\cos}\frac{13\pi}{12} = \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})\ ( - \frac{\sqrt{2}}{4}\left( 1 + \sqrt{3} \right) = \ - \frac{1}{2}\left( 1^{2} - {\sqrt{3}}^{2} \right) = - 0,5 \bullet \left( - 2 \right) = 1\).

Тригонометрические формулы двойного угла:

Синус двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha\)

Косинус двойного угла \(\cos 2\alpha = 1–2\sin ²\alpha\)

Тангенс двойного угла \(tg\ 2a = \frac{2tg\ a}{1 - tg^{2}a},\ a \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\text{πn}}{2},\ n \in Z\)

Найдите \(2\cos 2\alpha\), если \(\sin\alpha\ = \ - \ 0,7\).

Решение.

Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2\alpha\ = \ 1\ –\ 2\sin ²\alpha\).

Получаем: \(2\cos 2\alpha = 2 \cdot (1–2\sin ²\alpha) = 2 \cdot (1 - 2 \cdot \left( - 0,7 \right)\ 2) = 2 \cdot (1 - 2 \cdot 0,49) = 0,04.\)

Найдите значение выражения \(\frac{12\sin{11{^\circ}} \bullet \cos{11{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}}\)

Решение.

Применяем формулу \(\sin 2\alpha\ = \ 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha\):

\(\frac{12\sin{11{^\circ}} \bullet \cos{11{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}} = \ \frac{6\sin{22{^\circ}}}{\sin{22{^\circ}}} = 6\).

Формулы понижения степени:

Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла \(\sin^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{2}\)

Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла \(\cos^{2}a = \frac{1 + \cos{2a}}{2}\)

Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла \(\text{tg}^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{1 + \cos{2a}},a \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in Z\)

Найти значение выражения \(3\sin^{2}{4x}\), если \(\cos{8x} = 0,5\)

Решение.

Используем формулу понижения степени:

\(\sin^{2}a = \frac{1 - \cos{2a}}{2}\)

Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:

\(\sin^{2}{4x} = \frac{1 - \cos{8x}}{2}\)

Находим значение выражения:

\({3\ sin}^{2}{4x} = 3 \cdot \frac{1 - \cos{8x}}{2} = 3 \cdot \frac{1 - 0,5}{2} = \frac{3 \cdot 0,5}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\)

Тригонометрические формулы произведения:

Произведение синусов \(\sin\alpha \bullet \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos\left( \alpha - \beta \right) - \cos{(\alpha + \beta)})\)

Произведение косинусов \(\cos\alpha \bullet \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos{(\alpha - \beta)} + \cos{(\alpha + \beta)})\)

Произведение синуса и косинуса \(\sin\alpha \bullet \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin\left( \alpha + \beta \right) + \sin{(\alpha - \beta)})\)

Вычислить \(\sin{20{^\circ}} \cdot \sin{40{^\circ}\ }\), считать, что \(\cos{20{^\circ}}\ = \ 0,9\)

Решение.

Заметим, что

\(\sin\ 20{^\circ} \cdot \sin\ 40{^\circ} = \frac{1}{2}(\cos\left( 20{^\circ} - \ 40{^\circ} \right) - \cos{(20{^\circ}\ + \ 40{^\circ})})\ = \ \frac{1}{2}(\cos 20{^\circ}\ - \ \cos 60{^\circ})\ = \ 0,5 \cdot (0,9\ –\ 0,5)\ = \ 0,2\).

Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

\(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)

\(\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\)

\(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)

\(\cos\alpha - \cos\beta = - 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)

Формулы приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью, существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.

Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: \(\frac{\pi}{2},\ \pi,\frac{3\pi}{2},\ 2\pi\ \) и острого угла α, а в правой части аргумент α.

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило:

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\) — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

\(\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha).\)

«Меняется функция или нет?»

\(\frac{3\pi}{2}\) — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет \(\text{cosα}\).

«Знак?»

Угол \((\frac{3\pi}{2} + \alpha)\) попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, \(\sin(3\pi/2 + \alpha)\ = \ –cos\alpha\).

Найдите значение выражения \(\frac{14\sin{409{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}}\)

Решение. Используем формулу приведения:

\(\frac{14\sin{409{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}} = \frac{14\sin{(360{^\circ} + 40{^\circ})}}{\sin{49{^\circ}}}\)=\(\frac{14\sin{49{^\circ}}}{\sin{49{^\circ}}} = \frac{14}{1} = 14\)

Найдите значение выражения \(5tg17º\ \cdot \ tg107º\).

Решение. Используем формулу приведения:

\(5tg\ 17{^\circ} \cdot tg\ 107{^\circ} = 5tg\ 17{^\circ} \cdot tg\left( 90{^\circ} + 17{^\circ} \right) = 5tg\ 17{^\circ} \cdot ( - ctg\ 17{^\circ}) = - 5(tg\ 17{^\circ} \cdot ctg\ 17{^\circ}) = - 5 \cdot 1 = - 5\)