Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Степени Свойства степеней Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Движения Трапеция Равенство фигур Параллелограммы Биссектриса Векторы Виды треугольников Элементы планиметрии Многоугольники Высота Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Серединный перпендикуляр Средняя линия Площадь круга и сектора круга Метод координат на плоскости Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Симметрия Ромб Квадрат Подобие фигур
Реальная математика
Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Сложные проценты Множества Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на сплавы и смеси Диаграммы, графики и таблицы
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Сечения в многогранниках Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Векторы в пространстве Двугранный угол Призмы Метод координат в пространстве Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Тела вращения Сечения в телах вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии
Уравнения
Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения
Анализ функций
Графическое применение производной Интеграл Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства

Простейшие неравенства

Неравенства используются для сравнения чисел и выражений. Можно сравнивать числа и делать вывод об их расположении на числовой прямой относительно друг друга. Неравенство \(7 > 5\) означает, что число 7 лежит правее числа 5 на координатной оси:

Так же можно сравнивать самые разные выражения, например

\(x \geq 5\), или \(x^{2} + 2x > 4x + 5\).

В таком случае говорят о множестве решений неравенства, то есть о всех значениях переменной, для которой данное неравенство выполняется (в некоторых случаях это множество может состоять из одной точки или вообще быть пустым).

ОБОЗНАЧЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ:

Неравенства можно обозначать четырьмя способами:

  1. Больше

  1. Меньше

  1. Больше или равно:

  1. Меньше или равно:

Если неравенство строгое, то граничная точка в решение не входит (поэтому ее «выкалывают» на координатной оси).

У нестрого неравенства граничная точка в решение входит.

ДВОЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА:

Виды двойных неравенств не отличаются от видов обыкновенных, разница лишь в том, что промежуток обозначается уже двумя числами, а не одним.

Например:

\(1 < x \leq 4\)

Эта запись обозначает, что x больше 1 и при этом меньше либо равно 4.

1. Числовой промежуток будет записываться в соответствии со строгостью знаков к определенным числам. Скобка возле числа 1 будет круглой, а возле числа 4 – квадратной:

\(x \in (1;4\rbrack\)

2. Аналогично строгости знаков и виду скобок на числовой прямой будут закрашены или не закрашены точки. Число 1 будет отмечаться выколотой точкой, а число 4 закрашенной. Тогда на координатной прямой это двойное неравенство будет выглядеть так:

ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕРАВЕНСТВ:

1. Любое слагаемое в неравенстве можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный:

\({x + 5 > 0 }{x > \ –5}\)

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же положительное число:

\({2y > \left. \ 16 \right| : 2 }{y > 8}\)

3. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же отрицательное число, заменяя при этом знак неравенства на противоположный:

\({–\frac{t}{2} \leq \left. \ 10 \right| \bullet \left( –2 \right) }{t \geq \ –20}\)

4. Для двойных неравенств соблюдаются те же правила, с разницей в том, что алгебраические преобразования производятся сразу над всеми его частями:

\({2 \leq x + 5 \leq 8 }{–3 \leq x \leq 3}\)

5. Как и в уравнениях можно раскрывать скобки и упрощать выражения во всех частях неравенства или, наоборот, раскладывать на множители.

Пример 1:

Решить неравенство:

\(5(1\ –\ x) < 12\)

1. Преобразуем неравенства так, чтобы с одной стороны было только выражение, содержащее переменную, а с другой только число:

\(5(1\ –\ x) < 12\)

\(5\ –\ 5x < 12\)

\(–5x < 7\)

2. Делим на коэффициент перед переменной, при необходимости меняя знак на противоположный:

\(–5x < \left. \ 7 \right| : (–5)\)

\(x > \ –1,4\)

Ответ: \(x \in (–1,4; + \infty)\).