Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Отношения в геометрии Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Высота Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Ромб Скалярное произведение векторов Треугольники. Площади Параллелограммы Подобие фигур Движения Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Многоугольники Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Теорема Пифагора Векторы Равенство фигур Прямоугольник Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Медиана Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Элементы планиметрии
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Пирамиды Сечения в многогранниках Угол между плоскостями Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Призмы Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Расстояние от прямой до плоскости
Уравнения
Уравнения в целых числах Показательные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Квадратные уравнения
Анализ функций
Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Свойства функций Правила дифференцирования Первообразная Смысл производной Экстремумы Графическое применение производной
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства Иррациональные неравенства

Теорема о трёх перпендикулярах

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Сокращенно записывают как «ТТП» или «теорема о 3-х \(\bot\)- ах»:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\ \)МН, то m \(\bot\) АМ.

Поэтому теорема и называется теоремой о трёх перпендикулярах, т.к. получается, что проведенная прямая m перпендикулярна всем трём сторонам треугольника АМН.

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТТП

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\) АМ, то m \(\bot\ \)МН.

Пример №1:

Из точки Н проведен перпендикуляр НВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники AHD и CDH прямоугольные.

  1. Докажем, что треугольник AHD – прямоугольный. Рассмотрим треугольник AHB. АН – наклонная к плоскости прямоугольника ABCD, HB – перпендикуляр к этой же плоскости, следовательно АВ – проекция АН на плоскость АВС.

  2. В таком случае DA \(\bot\) АВ как стороны прямоугольника, тогда AD перпендикулярна к проекции на плоскости, а следовательно, перпендикулярна и самой наклонной АН по ТТП. Значит в треугольнике AHD DA \(\bot\) AH, следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.

  1. Аналогично докажем, что треугольник CDH – прямоугольный. В треугольнике CBH СН – наклонная к плоскости АВС, BH – перпендикуляр, следовательно CB – проекция CH на плоскость.

  2. DC \(\bot\) CB как стороны прямоугольника, тогда по ТТП DC \(\bot\) самой наклонной, то есть CН. Тогда в треугольнике DCH \(\angle\)С – прямой следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.