Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

10 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Показательные уравнения Иррациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными
Анализ функций
Экстремумы Первообразная Графическое применение производной Смысл производной Интеграл Свойства функций Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций
Неравенства
Иррациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Показательные и логарифмические неравенства
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Степени Свойства степеней Иррациональные выражения
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Подобие фигур Равенство фигур Элементы планиметрии Симметрия Ромб Средняя линия Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Прямоугольник Метод координат на плоскости Трапеция Высота Медиана Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Движения Векторы Отношения в геометрии Серединный перпендикуляр
Реальная математика
Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси Множества Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Сложные проценты Прикладные задачи Метод математической индукции
Стереометрия
Угол между плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Движения в пространстве Расстояние от точки до плоскости Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Пирамиды Призмы Теорема о трёх перпендикулярах Векторы в пространстве Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теорема о трёх перпендикулярах

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Сокращенно записывают как «ТТП» или «теорема о 3-х \(\bot\)- ах»:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\ \)МН, то m \(\bot\) АМ.

Поэтому теорема и называется теоремой о трёх перпендикулярах, т.к. получается, что проведенная прямая m перпендикулярна всем трём сторонам треугольника АМН.

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТТП

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\) АМ, то m \(\bot\ \)МН.

Пример №1:

Из точки Н проведен перпендикуляр НВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники AHD и CDH прямоугольные.

  1. Докажем, что треугольник AHD – прямоугольный. Рассмотрим треугольник AHB. АН – наклонная к плоскости прямоугольника ABCD, HB – перпендикуляр к этой же плоскости, следовательно АВ – проекция АН на плоскость АВС.

  2. В таком случае DA \(\bot\) АВ как стороны прямоугольника, тогда AD перпендикулярна к проекции на плоскости, а следовательно, перпендикулярна и самой наклонной АН по ТТП. Значит в треугольнике AHD DA \(\bot\) AH, следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.

  1. Аналогично докажем, что треугольник CDH – прямоугольный. В треугольнике CBH СН – наклонная к плоскости АВС, BH – перпендикуляр, следовательно CB – проекция CH на плоскость.

  2. DC \(\bot\) CB как стороны прямоугольника, тогда по ТТП DC \(\bot\) самой наклонной, то есть CН. Тогда в треугольнике DCH \(\angle\)С – прямой следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.