Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Правила дифференцирования
Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.
Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.
Формулы нахождения производных основных функций
Число, степенная функция, функция с коэффициэнтом
| Функция Формула | Пример |
|---|---|
| Число \(c' = \ 0\) | \(7' = \ 0\) Важно! \((ln\ 7)'\ = 0\) \(\pi^{'} = 0\) Так как это число, а не функция |
| Степенная функция \(\left( x^{n} \right)^{'} = \ n \bullet \ x^{n - 1}\) | \(\left( x^{7} \right)^{'} = 7 \bullet x^{7 - 1} = 7 \bullet x^{6}\) |
| Частный случай — квадратный корень \((\sqrt{x})'\ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) | Вывод формулы: \(\left( \sqrt{x} \right)^{'} = \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^{'} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| Частный случай — обратная функция \(\left( \frac{1}{х} \right)^{'} = - \frac{1}{x^{2}}\) | Вывод формулы: \(\left( \frac{1}{х} \right)^{'} = \left( x^{- 1} \right)^{'} = - 1 \bullet x^{- 1 - 1} = - \frac{1}{x^{2}}\) |
| Производная от функции, умноженной на коэффициент \(\left( c \bullet f\left( x \right) \right)^{'} = c \bullet f'(x)\) | \(\left( 7x \right)^{'} = 7 \bullet x^{'} = 7 \bullet 1 = 7\) \(\left( 3x^{7} \right)^{'} = 3 \bullet {(x}^{7})' = 3 \bullet 7 \bullet x^{7 - 1} = 21 \bullet x^{6}\) |
Производная от показательно – степенной и логарифмической функций
| Показательно-степенная функция \(\left( a^{x} \right)^{'} = a^{x} \bullet \ln a\) | \(\left( 7^{x} \right)^{'} = 7^{x} \bullet \ln 7\) |
|---|---|
| Частный случай показательно-степенной функции — основание е (экспонента) \(\left( e^{x} \right)^{'} = e^{x}\) | Вывод формулы: \(\left( e^{x} \right)^{'} = e^{x} \bullet \ln{e = e^{x} \bullet 1 = e^{x}}\) |
| Логарифмическая функция \({{(log\ }_{a}x)' = \frac{1}{x \bullet \ln a}}_{\ }\) | \({(\log\ }_{7}x)' = \frac{1}{x \bullet \ln 7}\) |
| Частный случай логарифмической функции —с натуральным логарифмом (основание логарифма — е) \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) | Вывод формулы: \(\left( \ln x \right)^{'} = \frac{1}{x \bullet \ln e} = \frac{1}{x \bullet 1} = \frac{1}{x}\) |
Производная от тригонометрических функций
| Синус \((\sin{x)' = cos\ x}\) | - |
|---|---|
| Косинус \((\cos{x)' = - sin\ x}\) | - |
| Тангенс \((\text{tg}{x)' = \frac{1}{\cos^{2}x\ }}\) | Вывод формулы: \(\left( \text{tg}x \right)^{'} = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{'} = \frac{\left( \sin x \right)^{'} \bullet \cos x - \sin x \bullet \left( \cos x \right)^{'}}{\cos^{2}x} = \frac{\cos x \bullet \cos x - \sin x \bullet ( - \sin{x)}}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x\ }\) |
| Котангенс \((\text{ctg}{x)' = - \frac{1}{\sin^{2}x\ }}\) | Вывод формулы: \(\left( \text{ctg}x \right)^{'} = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^{'} = \frac{\left( \cos x \right)^{'} \bullet \sin x - \cos x \bullet \left( \sin x \right)^{'}}{\sin^{2}x} = \frac{- \sin x \bullet \sin x - \cos x \bullet \cos x}{\sin^{2}x} = \frac{{- \sin}^{2}x - \cos^{2}x}{\sin^{2}x} = \frac{- 1 \bullet \cos^{2}x + \sin^{2}x}{\sin^{2}x\ } = - \frac{1}{\sin^{2}x\ }\) |
Производная от обратных тригонометрических функций
| Арксинус \((\arcsin{x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}\) | Арктангенс \((\text{arctg}{x)' = \frac{1}{1 + x^{2}\ }}\) |
|---|---|
| Арккосинус \(({\text{arc}\cos}{x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}\) | Арккотангенс \((\text{arcctg}{x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}\ }}\) |
Производная от суммы, произведения и частного функций
| Сумма функций \(\left( f\left( x \right) + g\left( x \right) \right)^{'} = f'\left( x \right) + g'\left( x \right)\) | \(\left( 7^{x} + 7 \right)^{'} = {(7^{x})}^{'} + 7' = 7^{x} \bullet \ln 7\) |
|---|---|
| Произведение функций \(\left( f\left( x \right) \bullet g(x) \right)^{'} = f^{'}\left( x \right) \bullet g\left( x \right) + f(x) \bullet g'\left( x \right)\) | \(\left( x^{7} \bullet \cos x \right)^{'} = \left( x^{7} \right)^{'} \bullet \cos x + x^{7} \bullet \left( \cos x \right)^{'} = 7 \bullet x^{6} \bullet \cos{x + x^{7} \bullet ( - \sin{x)}} = 7 \bullet x^{6} \bullet \cos{x - x^{7} \bullet \sin x}\) |
| Частное функций \(\left( \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right)^{'} = \frac{f^{'}(x) \bullet g\left( x \right) - f(x) \bullet g'\left( x \right)}{g^{2}\left( x \right)}\) | \(\left( \frac{x^{7}}{\cos x} \right)^{'} = \frac{\left( x^{7} \right)' \bullet \cos x - x^{7} \bullet (\cos x)'}{\cos^{2}x} = \frac{7 \bullet x^{6} \bullet \cos{x - x^{7} \bullet ( - \sin{x)}}}{\cos^{2}x} = \frac{7 \bullet x^{6} \bullet \cos{x + x^{7} \bullet \sin x}}{\cos^{2}x}\) |
Сложная функция
| \(\cos\text{x\ }\) — простая функция | \(\cos\sqrt{x}\) — сложная функция: внутри функции косинуса стоит функция корня |
|---|---|
| \(e^{x}\)— простая функция | \(e^{2x - 7}\) — сложная функция: внутри показательно-степенной функции стоит линейная функция\(\ 2x - 7\) |
\((f\left( g\left( x \right) \right)' = f'(g) \bullet g'(x)\)
Что она означает: мы берем производную от внешней функции, сохраняя ее аргумент таким, какой он был (то есть сохраняем ту функцию, которая стояла внутри), а потом умножаем ее на производную внутренней функции.
\(\cos{(3x - 2)}\)
Косинус — внешняя функция, сначала берем производную от нее
\(f^{'}\left( g \right) = (\cos{(3x - 2))' =} - \sin{(3x - 2)}\)
Обратите внимание, что внутренняя функция g = 3x – 5 не изменилась, её мы не трогаем. Отдельно находим от нее производную.
\(g^{'}\left( x \right) = \left( 3x - 2 \right)^{'} = 3\)
Теперь перемножим функции по формуле:
\({(cos}{(3x - 2))' =} - \sin{(3x - 2)} \bullet 3\)
\(\log_{12}{(x^{2})}\)
Внешняя функция логарифмическая, сначала берем производную от нее
\(f^{'}\left( g \right) = (\log_{12}{(x^{2}))' =}\frac{1}{x^{2} \bullet \ln 12}\)
Внутренняя функция g = x² пока не изменилась. Отдельно находим от нее производную:
\(g^{'}\left( x \right) = \left( x²\ \right)^{'} = 2x\)
Теперь перемножим функции по формуле:
\({(\log_{12}\left( x^{2} \right))}^{'} = \frac{2x}{x^{2} \bullet \ln 12}\)
\(4^{x^{2} - 2x + 7}\)
Внешняя функция логарифмическая, сначала берем производную от нее
\(f^{'}\left( g \right) = \left( 4^{x^{2} - 2x + 7} \right)^{'} = 4^{x^{2} - 2x + 7} \bullet \ln 4\)
Внутренняя функция g = x² пока не изменилась. Отдельно находим от нее производную:
\(g^{'}\left( x \right) = \left( x^{2} - 2x + 7\ \right)^{'} = 2x - 2\)
Теперь перемножим функции по формуле:
\({(4^{x^{2} - 2x + 7})}^{'} = 4^{x^{2} - 2x + 7} \bullet \ln 4 \bullet (2x - 2)\)
Анализ функций
\(f^{'}\left( x_{0} \right) = tg\ \alpha = k\)
Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как можно анализировать функцию с помощью производной:
1. Функция возрастает.
Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.
\(Функция\ возрастает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) > 0\)
2. Функция убывает.
Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.
\(Функция\ убывает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) < 0\)
3. Экстремум.
Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция находится в пиковом значении, она и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).
\(Точка\ экстремума\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) = 0\)
Максимум.
До него функция возрастает, после него убывает. В максимуме производная сменяет свой знак с плюса на минус.
\(Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\ + \ \Rightarrow \ -\)
Минимум.
До него функция убывает, после него возрастает. В минимуме производная сменяет свой знак с минуса на плюс.
\(Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right) - \ \Rightarrow \ +\)
Отсюда можно вывести общий порядок действий при анализе функций:
-
Находим производную от функции.
-
Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.
-
Определяем знаки производной между точками экстремума.
-
Если в точке знак производной меняется с плюса на минус — это максимум.
-
Если в точке знак производной меняется с минуса на плюс — это минимум.