Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Сокращенно записывают как «ТТП» или «теорема о 3-х $\bot$- ах»:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М$\ \in \$m и m $\bot\$МН, то m $\bot$ АМ.

Поэтому теорема и называется теоремой о трёх перпендикулярах, т.к. получается, что проведенная прямая m перпендикулярна всем трём сторонам треугольника АМН.

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТТП

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М$\ \in \$m и m $\bot$ АМ, то m $\bot\$МН.

Из точки Н проведен перпендикуляр НВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники AHD и CDH прямоугольные.

1. Докажем, что треугольник AHD – прямоугольный. Рассмотрим треугольник AHB. АН – наклонная к плоскости прямоугольника ABCD, HB – перпендикуляр к этой же плоскости, следовательно АВ – проекция АН на плоскость АВС.
2. В таком случае DA $\bot$ АВ как стороны прямоугольника, тогда AD перпендикулярна к проекции на плоскости, а следовательно, перпендикулярна и самой наклонной АН по ТТП. Значит в треугольнике AHD DA $\bot$ AH, следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.

3. Аналогично докажем, что треугольник CDH – прямоугольный. В треугольнике CBH СН – наклонная к плоскости АВС, BH – перпендикуляр, следовательно CB – проекция CH на плоскость.
4. DC $\bot$ CB как стороны прямоугольника, тогда по ТТП DC $\bot$ самой наклонной, то есть CН. Тогда в треугольнике DCH $\angle$С – прямой следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.