Первообразная

Хотите улучшить свои результаты?

Получите SMART-набор в подарок и прокачайтесь на максимум! 🎁

Забрать подарки

imageDesktop

Первообразная

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции \(f\) — это функция, от которой взяли производную и получили \(f\).

Например:

Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

Функция F(x) = х³ + 6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х² + 5, F(x) = х² + 17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

Геометрический смысл первообразной

Пусть имеется график функции \(f\left( x \right)\text{.\ }\) На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком \(f\left( x \right).\) Требуется найти площадь, ограниченную графиком \(f\left( x \right),\) осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\).

\(S = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\ dx = F\left( b \right) - F\left( a \right),\ \ }\)где F — первообразная f(x).

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной \(f\left( x \right)\) (то есть \(F\left( x \right)\)), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке — F(b).

Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

\(S = F\left( b \right) - F(a)\)

play

Урок пройден! Продолжай изучать предмет дальше -> там интересно :)

Следующие темы

Графики тригонометрических функций Графическое применение производной Интеграл

Анализ функций

Графики тригонометрических функций Графическое применение производной Интеграл Первообразная Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Свойства функций Смысл производной Экстремумы

Неравенства

Иррациональные неравенства Метод рационализации неравенств Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Простейшие неравенства Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств Тригонометрические неравенства

Планиметрия

Биссектриса Векторы Виды треугольников Высота Движения Квадрат Комбинации с окружностью Медиана Метод координат на плоскости Многоугольники Окружнoсть и круг Отношения в геометрии Параллелограммы Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Подобие фигур Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Равенство фигур Ромб Серединный перпендикуляр Симметрия Скалярное произведение векторов Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Средняя линия Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Трапеция Треугольники. Площади Четыре замечательные точки треугольника Элементы планиметрии

Реальная математика

Вероятность Диаграммы, графики и таблицы Комбинаторика Метод математической индукции Множества Основы комбинаторики Прикладные задачи Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на сплавы и смеси

Стереометрия

Векторы в пространстве Движения в пространстве Двугранный угол Метод координат в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Пирамиды Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Расстояние от точки до плоскости Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Угол между плоскостями Угол между прямой и плоскостью Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии

Уравнения

Дробно-рациональные уравнения Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Линейные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью тригонометрического круга Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Уравнения с модулем

Формулы и выражения

Иррациональные выражения Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Свойства степеней Степени Тригонометрический круг Формулы тригонометрии

Заберите SMART-набор в подарок и улучшите свои результаты🧡

Поделитесь своими контактами и получите:

Топовые курсы по профориентации и поступлению
Лайфхаки по подготовке к ЕГЭ
Скидки до -44%

Как еще с нами можно связаться

Как еще с нами можно связаться

Содержание