Арифметическая прогрессия

Начните учиться с нами прямо сейчас!

Подключите пробную неделю и оцените подготовку к ОГЭ и ЕГЭ

Начать учиться

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число

d

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если $d > 0$ , то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если $d < 0$ , то — убывающей последовательностью. А если $d = 0$ ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью $d = 1$ , а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность $d = 2$ (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии

a_{1}

и ее разность

d

, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

$a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)$ — формула $n$ -го члена,

Пример: Найдите члены

а_{8}

а_{1000}

арифметической прогрессии, у которой

а_{1} = - 2

d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

$а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33$ .

$а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993$ .

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

$S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n$ ;

Пример: Определить сумму

k

первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с $a_{1}\ = \ 1$ и $d\ = \ 2$

$S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\$

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: $S_{5} = \ 5^{2} = 25$

Можно убедиться, что $1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25$ .

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)