Скалярное произведение векторов

\(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{ab}} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}\)

где \(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}\) – угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

• Если \(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} < 90{^\circ}\), то \(\overrightarrow{\text{ab}} > 0\) (т. к. \(\cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} > 0\));
• Если \(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = 90{^\circ}\), то \(\overrightarrow{\text{ab}} = 0\) (т. к. \(\cos{90{^\circ}} = 0\));
• Если \(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} > 90{^\circ}\), то \(\overrightarrow{\text{ab}} < 0\) (т. к. \(\cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}) < 0\).

Например,

1. \(\overrightarrow{ac} > 0,\ т.к.\ \ \widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}} < 90{^\circ}\):

2. \(\overrightarrow{\text{ab}} = 0\), т. к. \(\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = 90{^\circ}\):

3. \(\overrightarrow{\text{bc}} < 0\), т. к. \(\widehat{\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}} > 90{^\circ}\):

\(\overrightarrow{\text{ab}} = \left| \overrightarrow{a} \right| \bullet \left| \overrightarrow{b} \right|,\ при\ \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{aa} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}\)

КООРДИНАТЫ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ТЕОРЕМА О КООРДИНАТАХ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ:

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\) и \(\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}\) равно выражается как:

\(\overrightarrow{\text{ab}} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}\)

CЛЕДСТВИЯ:

1. Ненулевые векторы \(\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\) и \(\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}\) перпендикулярны только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
2. Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\) и \(\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}\) равен:

\(\cos\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \bullet \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}\)

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ:

1. Скалярный квадрат любого вектора неотрицателен:

\(\left| \overrightarrow{a} \right|^{2} \geq 0\)

2. Переместительное свойство:

\(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a}\)

3. Распределительное свойство:

\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c}\)

4. Сочетательное свойство:

\(k(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{\text{ab}}\)

где k – любое число

Вычислите скалярное произведение векторов

\(\overrightarrow{a}\left\{ 1,5;2 \right\}\)

\(\overrightarrow{b}\left\{ 4;\ –0,5 \right\}\)

По определению скалярного произведения векторов:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 1,5 \bullet 4 + 2 \bullet \left( –0,5 \right) = 6–1 = 5\)

Ответ: 5.

Докажите, что данные векторы перпендикулярны:

\(\overrightarrow{a}\left\{ x;y \right\}\)

\(\overrightarrow{b}\left\{ –y;x \right\}\)

Векторы перпендикулярны только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = x \bullet (–y) + y \bullet x = \ –xy + yx = 0\)

Следовательно, \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\).

Что и требовалось доказать.