Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Анализ функций
Линейная функция Координатная плоскость Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Кусочная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функции Свойства функций
Реальная математика
Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Вероятность Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на доли и дроби Единицы измерения Геометрическая прогрессия Практико-ориентированные задания
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Биссектриса Комбинации с окружностью Высота Параллелограммы Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Квадрат Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Виды треугольников Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Окружнoсть и круг Симметрия Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Площади четырёхугольников Простейшие расстояния на плоскости Теорема Пифагора Прямоугольник Серединный перпендикуляр Медиана Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Векторы Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Подобие фигур Элементы планиметрии
Числа и действия с ними
Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Округление дробей Правила счёта Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Координатная прямая Модуль

Смешанные дроби и действия с ними

Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.

Например,

\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)

1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

  1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

  2. Неполное частное будет целой частью.

  3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель - знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:

Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

  1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

  2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

  3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

  1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)

  1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

  1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)