Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Модуль Целые числа и действия с ними Округление дробей Правила счёта Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Прикладные задачи Единицы измерения Диаграммы, графики и таблицы Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Практико-ориентированные задания Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Планиметрия
Многоугольники Ромб Высота Отношения в геометрии Биссектриса Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Четыре замечательные точки треугольника Векторы Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Квадрат Трапеция Тригонометрия в геометрии Средняя линия Прямоугольник Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Виды треугольников Подобие фигур Треугольники. Площади Скалярное произведение векторов Медиана Площади четырёхугольников Симметрия Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Равенство фигур Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Комбинации с окружностью
Уравнения
Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Линейная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Функция квадратного корня Функции Кусочная функция

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если \(q > 0\), то прогрессия считается знакоположительной, при \(q < 0\) – знакопеременной.

Если \(|q| > 1\), прогрессия возрастающая, если \(|q| < 1\) – убывающая. Заметим, что при \(q < 0\) сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если \(b_{1}\) — первый член прогрессии (\(b_{1}\ \neq \ 0\)), а q — знаменатель прогрессии (\(q\ \neq \ 0\)), то справедливы следующие формулы:

\(b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}\) - формула n-го члена

Пример: Найдите\(\ {\ b}_{4},\ {\ b}_{11}\) геометрической прогрессии, если \(b_{1} = 3\), \(q = 2\)

Решение:

По формуле найдем:

\(b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24\),

\(b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072\).

\(< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}\) - формула суммы n первых членов;

Пример: Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой \(b_{1} = 2\), \(q = 3\)

Решение:

\(S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242\)

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • \(b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}\) - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле \(S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}\) .

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической: \(a_{n} = a_{1} + d \cdot (n\ - 1)\)

  • геометрической: \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.