Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Уравнения
Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения
Формат ОГЭ
Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ
Анализ функций
Преобразование графиков функции Координатная плоскость Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Линейная функция Квадратичная функция Функция квадратного корня Функции Свойства функций Функция обратной пропорциональности
Неравенства
Простейшие неравенства Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Теорема Пифагора Окружнoсть и круг Квадрат Скалярное произведение векторов Четыре замечательные точки треугольника Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Векторы Высота Треугольники. Площади Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямоугольник Равенство фигур Биссектриса Метод координат на плоскости Параллелограммы Элементы планиметрии Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Ромб Симметрия Отношения в геометрии Многоугольники Средняя линия Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Медиана Подобие фигур
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Модуль Натуральные числа и действия с ними Округление дробей Правила счёта Рациональные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Координатная прямая
Реальная математика
Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Введение в текстовые задачи Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на доли и дроби Геометрическая прогрессия Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы
Формулы и выражения
Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если \(q > 0\), то прогрессия считается знакоположительной, при \(q < 0\) – знакопеременной.

Если \(|q| > 1\), прогрессия возрастающая, если \(|q| < 1\) – убывающая. Заметим, что при \(q < 0\) сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если \(b_{1}\) — первый член прогрессии (\(b_{1}\ \neq \ 0\)), а q — знаменатель прогрессии (\(q\ \neq \ 0\)), то справедливы следующие формулы:

\(b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}\) - формула n-го члена

Пример: Найдите\(\ {\ b}_{4},\ {\ b}_{11}\) геометрической прогрессии, если \(b_{1} = 3\), \(q = 2\)

Решение:

По формуле найдем:

\(b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24\),

\(b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072\).

\(< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}\) - формула суммы n первых членов;

Пример: Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой \(b_{1} = 2\), \(q = 3\)

Решение:

\(S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242\)

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • \(b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}\) - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле \(S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}\) .

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической: \(a_{n} = a_{1} + d \cdot (n\ - 1)\)

  • геометрической: \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.