Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Линейная функция Квадратичная функция Свойства функций Функция квадратного корня Функции Преобразование графиков функции Координатная плоскость
Формулы и выражения
Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Числа и действия с ними
Модуль Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Правила счёта
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения
Реальная математика
Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на отношения Прикладные задачи Вероятность Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Практико-ориентированные задания Текстовые задачи на движение по воде Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на доли и дроби
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Средняя линия Тригонометрия в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Простейшие расстояния на плоскости Многоугольники Трапеция Метод координат на плоскости Теорема Пифагора Векторы Квадрат Треугольники. Площади Биссектриса Площади четырёхугольников Параллелограммы Окружнoсть и круг Скалярное произведение векторов Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Ромб Прямые и углы на плоскости Площадь круга и сектора круга Медиана Высота Симметрия Подобие фигур Теорема синусов и теорема косинусов Элементы планиметрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Равенство фигур Отношения в геометрии Прямоугольник Виды треугольников

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если \(q > 0\), то прогрессия считается знакоположительной, при \(q < 0\) – знакопеременной.

Если \(|q| > 1\), прогрессия возрастающая, если \(|q| < 1\) – убывающая. Заметим, что при \(q < 0\) сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если \(b_{1}\) — первый член прогрессии (\(b_{1}\ \neq \ 0\)), а q — знаменатель прогрессии (\(q\ \neq \ 0\)), то справедливы следующие формулы:

\(b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}\) - формула n-го члена

Пример: Найдите\(\ {\ b}_{4},\ {\ b}_{11}\) геометрической прогрессии, если \(b_{1} = 3\), \(q = 2\)

Решение:

По формуле найдем:

\(b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24\),

\(b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072\).

\(< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}\) - формула суммы n первых членов;

Пример: Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой \(b_{1} = 2\), \(q = 3\)

Решение:

\(S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242\)

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • \(b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}\) - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле \(S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}\) .

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической: \(a_{n} = a_{1} + d \cdot (n\ - 1)\)

  • геометрической: \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.