Иррациональные выражения

Преобразовывать иррациональные выражения можно разными способами. В каждом из них в той или иной степени присутствует разложение на множители, вынесение общего множителя или ФСУ (формулы сокращенного умножения).

СВОЙСТВА КОРНЕЙ:

1. \(\sqrt{a} \bullet \sqrt{b} = \sqrt{\text{ab}}\)

2. \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

3. \(\left( \sqrt{a} \right)^{n} = \sqrt{a^{n}}\)

4. \(\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}}\)

5. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[\text{nm}]{a}\)

6. \(\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a\)

7. \(\sqrt{a^{2}} = \left| a \right|\)

8. \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}\)

ПОДОБНЫЕ РАДИКАЛЫ:

Корни могут называть радикалами, а подобные радикалы – это корни из одинаковых чисел. Чтобы сложить подобные радикалы, нужно вынести повторяющийся радикал как общий множитель. Например:

\(\sqrt{2} + 5\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{3}\ –3\sqrt{2} = (5\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{3}) + (\sqrt{2}\ –\ 3\sqrt{2}) = (5\ –2)\sqrt{3} + (1\ –3)\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{2}\)

МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОДКОРЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:

По свойству корней мы знаем, что

\(\sqrt{\text{ab}} = \sqrt{a} \bullet \sqrt{b}\)

Поэтому при упрощении иррациональных выражений используется метод разложения на множители.

Например:

\(\sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{9 \bullet 2} + \sqrt{16 \bullet 2} = \sqrt{9} \bullet \sqrt{2} + \sqrt{16} \bullet \sqrt{2}\)

Корни из 9 и из 16 легко извлекаются:

\(\sqrt{9} \bullet \sqrt{2} + \sqrt{16} \bullet \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\)

ПРИМЕНЕНИЕ ФСУ ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ:

1. Если мы видим под корнем ФСУ, то мы можем свернуть выражение на множители:

Например:

\(\sqrt{4a^{2} + 4ab + b^{2}} = \sqrt{\left( 2a + b \right)^{2}} = \left| 2a + b \right|\)

2. Так же в иррациональных выражениях можно заметить разность квадратов:

\((7 + \sqrt{5})(7\ –\ \sqrt{5}) = 7^{2}\ –\ \left( \sqrt{5} \right)^{2} = 49\ –\ 5 = 44\)

Из-за того, что в разности квадратов оба выражения возводятся в квадрат, корень второй степени уходит.

ДРОБНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

1. Рассмотрим выражение:

\(\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\)

Упростить его можно двумя способами.

• 1 Способ:

Домножим дробь на иррациональное выражение в знаменателе:

\(\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{8} \bullet \sqrt{2}}{\sqrt{2} \bullet \sqrt{2}}\)

Произведение двух корней можно занести под один корень:

\(\frac{3\sqrt{8 \bullet 2}}{\sqrt{2 \bullet 2}} = \frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{3 \bullet 4}{2} = 6\)

Ответ: 6.

• 2 Способ:

Внесем частное двух корней под один корень:

\(\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\frac{8}{2}}\)

Числа внутри корня можно сократить:

\(3\sqrt{\frac{8}{2}} = 3\sqrt{4} = 3 \bullet 2 = 6\)

Ответ: 6.

В обоих случаях получился один ответ. Разница была в ходе рассуждений. Оба способа основываются исключительно на свойствах корней.

Найдите значение выражения при \(a = 8,\ \ b = 2:\)

\(\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{a\ –\ 6\sqrt{\text{ab}} + 9b}\)

1. Сначала упростим выражение в знаменателе. Свернем его по ФСУ:

\(\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{a\ –\ 6\sqrt{\text{ab}} + 9b} = \frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})}^{2}} = \frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})}\)

2. Сократим одинаковые скобки в числителе и в знаменателе:

\(\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b}}\)

3. Теперь подставим в выражение значения a и b:

\(\frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{8} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{8}\ –\ 3\sqrt{2}}\)

4. Разложим \(\sqrt{8}\) на множители:

\(\frac{\sqrt{8} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{8}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 \bullet 2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{4 \bullet 2}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{–\sqrt{2}} = \ –5\)

Ответ: \(–5\).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОРНЕЙ:

Приближенное значение корня:

Можно найти приближенное значение любого корня. Для этого предполагают, между какими числами корень может находиться.

Например:

\(\sqrt{30}\)

Округлим \(\sqrt{30}\) до целого. Представим его как число, заключенное между какими-то натуральными числами. Мы знаем, что ближайшие значения квадратов для 30 – это 25 (квадрат 5) и 36 (квадрат 6):

\(\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}\)

\(5 < \sqrt{30} < 6\)

Значит округление \(\sqrt{30}\) в сторону 5 – это округление с недостатком, а в сторону 6 – округление с избытком. Значит целое значение \(\sqrt{30} = 5\).

Подберем значение \(\sqrt{30}\) до десятых. Найдем квадраты чисел 5,1, 5,2, 5,3 и т.д., пока не найдем два значения, между которыми заключено число 30.

\(\sqrt{29,16} < \sqrt{30} < \sqrt{30,25}\)

\(5,4 < \sqrt{30} < 5,5\)

Теперь мы знаем, что число \(\sqrt{30}\) = 5,4 до десятков. Таким образом можно найти приближенное значение корня до любого разряда.

СРАВНЕНИЕ КОРНЯ С ЧИСЛОМ:

Чтобы сравнить корень и число, нужно возвести оба числа в квадрат:

\(a > b \Longleftrightarrow a^{2} > b^{2} \Longleftrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}\)

Сравнить:

\(\sqrt{98}\ и\ 9\)

1. Возведем обе части в квадрат:

\({(\sqrt{98})}^{2}\ и\ 9^{2}\)

\(98\ и\ 81\)

2. Определим знак неравенства между этими числами. Для их корней знак будет таким же:

\(98 > 81\)

\(\sqrt{98} > 9\)

Если корень сравнивают с отрицательным числом, то возводить оба числа в квадрат не нужно. Любой корень всегда будет больше отрицательного числа, т.к. любое положительное число больше отрицательного:

\(\sqrt{a}\ и\ b,\ при\ b < 0\)

\(a > 0\ по\ определению\ корня\)

\(b < 0 < \sqrt{a}\)

\(b < \sqrt{a}\)