Текстовые задачи на отношения

Отношения встречаются в различных задачах и важно понимать, как с ними работать. Отношение – это какая-то уже сокращенная дробь. То есть данные в заданиях отношения – не реальная величина, а уже сокращенная, и мы должны узнать, на сколько.

Отношение = дробь, можно сокращать и расширять.

Если это тяжело принять, то можно поступить проще: представить, что в отношениях даны не величины, а какие-то деления. Отношение обычно записывается через двоеточие, например 3:5.

Например, рассматриваем отношение конфет на двух столах – представляем, что единицы отношения – это вазочки с одинаковым количеством конфет, мы должны узнать, сколько вазочек находится на одном столе, а сколько – на другом; если рассматриваем отношение цветов, то единицы отношения – это клумбы с одинаковым количеством цветов.

В магазине в наличии есть карамель, шоколадные конфеты и мармеладные конфеты в соотношении \(3:5:7\) соответственно.

1. Каково отношение между карамелью и шоколадными конфетами?​

Необходимо поделить количество коробок с карамелью на количество коробок с шоколадными конфетами, то есть \(3:5\).

2. Каково отношение между карамелью и мармеладными конфетами?​

Необходимо поделить количество коробок с карамелью на количество коробок с мармеладными, то есть \(3:7.\)

3. Какую часть составляют мармеладные конфеты от всех конфет?

Нужно сложить количество всех коробок. Всего у нас \(3 + 5 + 7 = 15\) единиц отношения. Далее поделим единицы отношения мармеладных конфет на единицы отношения всех конфет. Таким образом, мармеладные конфеты по отношению ко всем конфетам составляют \(7:15.\ \)

4. Если в магазине есть 20 шоколадных конфет, то каково количество мармеладных? ​

В этом вопросе мы встречаемся с переходом от единиц отношения к абсолютной величине. Вспоминаем, что наши конфеты разложены по коробкам. То есть у нас есть 5 коробок, в которых 20 шоколадных конфет. Коробки — это единицы отношения, а шоколадные конфеты – это абсолютная величина.

Количество шоколадных конфет разделим на количество клеток \(20:5 = 4\), т.е. в каждой коробке 4 шоколадные конфеты.

Помним, что размер единицы отношения равен для всех элементов этого отношения. Значит, что во всех коробках в магазине находится по 4 конфеты.​

Тогда всего в магазине 28 мармеладных конфет.

Отношение объема воды в большом и малом бассейне равно 3:2. Для того, чтобы поменять воду в этих двух бассейнах, потребуется 500 воды. Сколько воды в малом бассейне?

Решение:

Представим, что вся вода из большого бассейна хранится в 3 бочках, из малого в 2 точно таких же, это будут единицы отношения. Абсолютная величина – это весь объем бассейна.

Если у нас 2 бочки от малого бассейна и 3 от большого, то всего их 5.

Мы знаем, что в 5 бочках находится 500 воды. Узнаем сколько в одной:

(500) : 5 = 100

Итак, узнаем, во сколько бочек вместится вся вода из малого бассейна, знаем их размерность, найдем объем малого бассейна.

Ответ: 200

Единицы отношения в геометрии

Единицы отношений могут встретиться и в задачах по геометрии. Смысл останется тем же: отношение — это какая-то сокращенная дробь. Например, может быть дано соотношение сторон или углов в задаче: стороны прямоугольного треугольника ABC AB и BC относятся как 3:4.

Так как отношение — это некая сокращенная дробь, то отношение сторон должно быть представлено следующим образом:

\(\frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{3x}{4x}\)

То есть мы вводим переменную, чтобы показать, что отношение не является реальным значением сторон.

Стороны могут составлять 3 и 4, 6 и 8, 333 и 444 соответственно, а также принимать любые другие значения при условия сохранения данного соотношения.

Аналогичным образом можно представить углы или другие измеряемые величины.