Maximumtest Logo
  • ОГЭ/ЕГЭ
  • Профориентация
  • Школа MAXIMUM
  • IT-колледж
  • О нас

Дробно-рациональные уравнения

Дробно - рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратится в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определяем область допустимых значений.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ:

Пример №1:

1x2=2x+4\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 4}

1. Определим область допустимых значений:

{  x20  x+40         {  x2    x4  \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x - 2 \neq 0 \\ \ \\ \ x + 4 \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 2 \\ \ \\ \ \ \ x \neq - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и ‒4.

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

 1x2=2x+4 (x –2)(x +4)\left. \ \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 4}\ \right| \cdot (x\ –2)\left( x\ + 4 \right)

(x –2)(x +4)x2=2(x –2)(x +4)x+4\frac{(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x - 2} = \frac{2(x\ –2)\left( x\ + 4 \right)}{x + 4}

x+4=2(x –2)x + 4 = 2(x\ –2)

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

x+4=2x –4x + 4 = 2x\ –4

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае видим линейное уравнение. Переносим иксы в одну сторону, числа в другую:

8=x8 = x

5. Проверяем полученный корень (корни) на принадлженость к области допустимых значений. Корень принадлежит ОДЗ, если при его подстановке в уравнение знаменатели не обращаются в ноль:

Ответ: 8.

Пример №2:

x3x5+1x=x+5x(x5)\frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x\left( x - 5 \right)}

1. Определим область допустимых значений:

{  x50  x0     x(x5)0      {  x5   x0   \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x - 5 \neq 0 \\ \ \\ \ x \neq 0 \\ \ \\ \ \ \ \ x(x - 5) \neq 0\ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x \neq 5 \\ \ \\ \ \ x \neq 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \right.\

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

 x3x5+1x=x+5x(x5)x(x5)\left. \ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x\left( x - 5 \right)} \right| \cdot x\left( x - 5 \right)

(x3)x(x5)x5+x(x5)x=x(x+5)(x5)x(x5)\frac{\left( x - 3 \right)x\left( x - 5 \right)}{x - 5} + \frac{x\left( x - 5 \right)}{x} = \frac{x\left( x + 5 \right)\left( x - 5 \right)}{x\left( x - 5 \right)}

(x3)x+x5=x+5\left( x - 3 \right)x + x - 5 = x + 5

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

x23x+x5=x+5x^{2} - 3x + x - 5 = x + 5

x22x5x5=0x^{2} - 2x - 5 - x - 5 = 0

x23x10=0x^{2} - 3x - 10 = 0

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при x2x^{2} равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

{    x1x2=10 x1+x2=3  \left\{ \begin{matrix} \ \\ \text{\ \ \ }x_{1} \cdot x_{2} = - 10 \\ \ \\ x_{1} + x_{2} = 3\ \\ \end{matrix} \right.\

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: ‒2

При подстановке корней в уравнение должно получиться верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.

play
Урок пройден! Продолжай изучать предмет дальше -> там интересно :)

Содержание