Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Уравнения
Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Формат ОГЭ
Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Метод координат на плоскости Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Отношения в геометрии Биссектриса Теорема синусов и теорема косинусов Высота Площадь круга и сектора круга Теорема Пифагора Квадрат Элементы планиметрии Средняя линия Тригонометрия в геометрии Медиана Комбинации с окружностью Ромб Симметрия Скалярное произведение векторов Параллелограммы Подобие фигур Прямоугольник Виды треугольников Многоугольники Равенство фигур Серединный перпендикуляр Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площади четырёхугольников Простейшие расстояния на плоскости Трапеция Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы
Числа и действия с ними
Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Координатная прямая Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Геометрическая прогрессия Основы математической статистики Прикладные задачи Вероятность Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Единицы измерения Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Практико-ориентированные задания
Анализ функций
Координатная плоскость Функция квадратного корня Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Функции Кусочная функция Линейная функция Преобразование графиков функции

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).