Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Планиметрия
Многоугольники Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Теорема Пифагора Элементы планиметрии Треугольники. Площади Трапеция Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Квадрат Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Подобие фигур Высота Скалярное произведение векторов Окружнoсть и круг Комбинации с окружностью Векторы Средняя линия Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Прямоугольник Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Симметрия Отношения в геометрии Метод координат на плоскости
Уравнения
Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Формат ОГЭ
Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ
Анализ функций
Координатная плоскость Функция квадратного корня Кусочная функция Линейная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функции Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности
Стереометрия
Пирамиды. Основы Призмы. Основы Тела вращения. Основы
Неравенства
Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Правила счёта Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Координатная прямая Модуль Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Практико-ориентированные задания Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия
Формулы и выражения
Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены
Варианты ОГЭ
Вариант 1

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).