Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Преобразование графиков функции Функции Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Линейная функция Квадратичная функция Координатная плоскость Функция квадратного корня Свойства функций
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Координатная прямая Модуль Натуральные числа и действия с ними Правила счёта
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Единицы измерения Текстовые задачи на производительность Практико-ориентированные задания Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Введение в текстовые задачи Арифметическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по окружности
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени
Неравенства
Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства
Планиметрия
Высота Отношения в геометрии Тригонометрия в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Параллелограммы Окружнoсть и круг Квадрат Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Прямоугольник Элементы планиметрии Виды треугольников Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Многоугольники Векторы Средняя линия Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Четыре замечательные точки треугольника Подобие фигур Симметрия Треугольники. Площади Скалярное произведение векторов Равенство фигур Медиана Биссектриса

Симметрия

Симметрия – это «отзеркаленное» положение чего-либо.

Симметрия бывает лучевая (через прямую) и центральная (через точку)

ЛУЧЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Линия симметрии – это прямая, по которой что-либо отражается.

Например,

Возьмем лист бумаги и отметим на нём точку. Сложим лист бумаги по линии. Тогда наша точка «отпечатается» на противоположной стороне от нее:

Линия сгиба и будет линией симметрии. Говорят, что точка симметрична относительно данной прямой.

Мы можем отражать любые точки относительно любых прямых, например:

Чтобы каждый раз не складывать мысленно листок бумаги, можно использовать общий принцип образования лучевой симметрии.

Чтобы отразить точку относительно линии симметрии нужно:

  1. Провести перпендикуляр от точки до линии симметрии. Получится отрезок от точки до линии.

  2. Продлить этот отрезок в два раза, чтобы линия симметрии оказалась на его середине.

  3. На конце продленного отрезка будет находиться точка, симметричная данной.

Например,

Отразить фигуру относительно линии симметрии – значит отразить каждую её точку.

Пример №1:

Отразите треугольник относительно заданной линии симметрии.

  1. Чтобы отразить весь треугольник, нужно отразить каждую её точку. Отразим три вершины треугольника.

  2. Проведем от каждой точки перпендикуляр к линии симметрии.

  3. Посчитаем длины этих перпендикуляров до каждой точки:

От точки А – 1 диагональ клетки

От точки В – 2 диагонали клетки

От точки С – 3 диагонали и еще половина

  1. Продлим каждый перпендикуляр на такую же длину. Получили что от каждой точки до их «отражений» будет:

От А – 2 диагонали

От В – 4 диагонали

От С – 7 диагоналей

  1. Соединим получившиеся точки на другой стороне от линии симметрии и получим треугольник симметричный данному.

\(\Delta АВС\ симметричен\ \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по линии симметрии

СИММЕТРИЯ ФИГУР

Симметричная фигура – это фигура, которую можно сложить так, чтобы её вершины совпали.

Линию симметрии внутри фигуры называют осью симметрии.

Например:

Данные фигуры симметричный относительно своих осей симметрии:

А вот эти фигуры несимметричные. У них не осей симметрии такие фигуры называют ассиметричными:

При этом у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре:

А вот у окружности есть бесконечное количество осей симметрии, т.к. любая прямая, проведенная через центр окружности, является осью её симметрии:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.

Такая симметрия выстраивается аналогично лучевой симметрии, только теперь нужно проводить отрезок от точки к точке (без перпендикуляров) и продолжать этот отрезок на такую же длину. Например:

Точка В симметрична точке А относительно точки О.

Если все центральные симметрии фигуры пересекаются в одной точке, то такая точка называется центром фигуры.

Фигура, которая имеет центр, при повороте на 180⁰ совпадает сама с собой.

Например, любой овал или окружность имеют центр:

Прямоугольник и квадрат тоже имеют свои центры: