Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Формат ОГЭ
Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ
Анализ функций
Функция квадратного корня Свойства функций Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Реальная математика
Единицы измерения Диаграммы, графики и таблицы Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Практико-ориентированные задания Основы математической статистики Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на производительность
Формулы и выражения
Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Планиметрия
Многоугольники Элементы планиметрии Симметрия Биссектриса Виды треугольников Параллелограммы Средняя линия Серединный перпендикуляр Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Тригонометрия в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямоугольник Подобие фигур Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Отношения в геометрии Равенство фигур Медиана Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Высота Четыре замечательные точки треугольника Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Квадрат Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Трапеция Площади четырёхугольников Теорема синусов и теорема косинусов Ромб
Числа и действия с ними
Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Уравнения
Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.