Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Основы математической статистики Арифметическая прогрессия Практико-ориентированные задания Текстовые задачи на движение по воде Единицы измерения Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на доли и дроби Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Прикладные задачи Вероятность
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Стереометрия
Пирамиды. Основы Призмы. Основы Тела вращения. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Средняя линия Высота Треугольники. Площади Многоугольники Ромб Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Площадь круга и сектора круга Теорема Пифагора Параллелограммы Виды треугольников Квадрат Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Биссектриса Площади четырёхугольников Метод координат на плоскости Скалярное произведение векторов Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Трапеция Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Прямоугольник Медиана Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Теорема синусов и теорема косинусов Векторы Симметрия Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью
Числа и действия с ними
Целые числа и действия с ними Правила счёта Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Анализ функций
Функция квадратного корня Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Линейная функция Квадратичная функция Координатная плоскость Функции Кусочная функция Преобразование графиков функции
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.