Отношения в геометрии

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: \(\text{AO}:\text{AM} = 2:1.\)

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: \(MN = \frac{1}{2}\text{BC}\)

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине \(CM = \frac{1}{2}\text{AB}\)

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

\(АО = ОС,\ \ BO = \text{OD}\)

Прямоугольник или квадрат:

\(АО = ОС = BO = \text{OD}\)

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника:

\(S_{\text{ACM}} = S_{\text{AMB}} = S\)

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

\(S_{\text{AKO}} = S_{\text{ALO}} = S_{\text{CKO}} = S_{\text{CMO}} = S_{\text{BMO}} = S_{\text{BLO}} = S\)

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\frac{3}{4}S\)

\(S_{\text{AKC}\left( \text{LMB} \right)} = \frac{3}{4}S_{\text{ABM}}\)

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Лемма 1:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

\(S_{\text{ABC}}\sim S_{\text{EKF}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EKF}}} = \left( \frac{\text{AC}}{\text{EF}} \right)^{2} = k^{2}\)

Лемма 2:

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}}\)

\(\frac{S_{\text{EBC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{EC}}{\text{AE}}\)

Лемма 3:

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{AOE}}} = \frac{\text{BE}}{\text{OE}}\)

Лемма 4:

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle B}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)

Продолжение леммы 4:

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

\(\sin{\angle FBE} = \sin{\left( 180{^\circ} - \angle ABC \right) = \sin{\angle ABC}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle FBE}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)