Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трех членов – трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.
Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены – биномами.
Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.
Решение:
Подставим вместо переменных данные в условии значения:
Ответ: -6,98.
СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА
Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных слагаемых основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.
Например,
Привести подобные члены многочлена
Решение:
Сгруппируем подобные слагаемые и посчитаем
В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Определить степень многочлена .
Решение:
Для этого приведем многочлен к стандартному виду:
Степень данного многочлена равна трем. Значит, и степень заданного многочлена тоже равна трем.
Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается неопределенной.
Стандартная запись многочлена n-ой степени:
,
где x – переменная,
Коэффициент при называют старшим коэффициентом (в нашем случае это ).
СУММА, РАЗНОСТЬ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Например,
раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые
Например,
раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые
Иногда требуется решить обратную задачу – представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются следующими правилами:
Решение:
Оставим , а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «плюс»
Аналогично, представим разность:
Оставим , а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «минус»
УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Умножить одночлен на многочлен .
Решение:
Умножим каждый член многочлена на