8 800 707 02 98
Забрать подарки
Забрать подарки
Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика

Многочлены

Многочлен – это сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трех членов – трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены – биномами.

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример №1:

Решение:

Подставим вместо переменных данные в условии значения:

0,3x2yx3+7y=0,3(0,2)2(1)(0,2)3+7(1)=0,012+0,0087=6,98- 0,3x^{2}y - x^{3} + 7y = - 0,3 \bullet \left( - 0,2 \right)^{2} \bullet \left( - 1 \right) - \left( - 0,2 \right)^{3} + 7 \bullet \left( - 1 \right) = 0,012 + 0,008 - 7 = - 6,98

Ответ: -6,98.

СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных слагаемых основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

Например,

Привести подобные члены многочлена 13x2y+4+8xy6x2y913x^{2}y + 4 + 8xy - 6x^{2}y - 9

Решение:

Сгруппируем подобные слагаемые и посчитаем

В многочлене 7x2y+8xy57x^{2}y + 8xy - 5каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Степень многочлена стандартного вида – наибольшая из степеней входящих в многочлен одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример №2:

Определить степень многочлена a6+2a2ba6+1a^{6} + 2a^{2}b - a^{6} + 1.

Решение:

Для этого приведем многочлен к стандартному виду:

a6+2a2ba6+1=2a2b+1a^{6} + 2a^{2}b - a^{6} + 1 = 2a^{2}b + 1

Степень данного многочлена равна трем. Значит, и степень заданного многочлена тоже равна трем.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается неопределенной.

Стандартная запись многочлена n-ой степени:

a0xn+a1xn1+a2xn2++an2x2+an1x+ana_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + a_{2}x^{n - 2} + \ldots + a_{n - 2}x^{2} + a_{n - 1}x^{} + a_{n},

где x – переменная,

Коэффициент при xnx^{n} называют старшим коэффициентом (в нашем случае это a0a_{0}).

СУММА, РАЗНОСТЬ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

  1. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например,

раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые

(a37a21)+(3a3a2+6)=a37a21+3a3a2+6=4a38a2+5\left( a^{3} - 7a^{2} - 1 \right) + \left( 3a^{3} - a^{2} + 6 \right) = a^{3} - 7a^{2} - 1 + 3a^{3} - a^{2} + 6 = 4a^{3} - 8a^{2} + 5

  1. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого на противоположный.

Например,

раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые

Иногда требуется решить обратную задачу – представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются следующими правилами:

  1. Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
  2. Если перед скобками ставится знак «минус», то у всех членов, заключаемых в скобки, нужно изменить знак на противоположный.

Пример №3:

Решение:

Оставим 5x5x, а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «плюс»

5x3y+1=5x+(3y+1)5x - 3y + 1 = 5x + ( - 3y + 1)

Аналогично, представим разность:

Оставим 5x5x, а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «минус»

5x3y+1=5x(3y1)5x - 3y + 1 = 5x - (3y - 1)

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример №4:

Умножить одночлен 3xy- 3\text{xy} на многочлен 2x2y+4xy212x^{2}y + 4xy^{2} - 1.

Решение:

Умножим каждый член многочлена на 3xy- 3\text{xy}