Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Числа и действия с ними
Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формат ОГЭ
Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ
Формулы и выражения
Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Векторы Высота Симметрия Прямые и углы на плоскости Серединный перпендикуляр Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Простейшие расстояния на плоскости Многоугольники Элементы планиметрии Треугольники. Площади Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площади четырёхугольников Прямоугольник Трапеция Тригонометрия в геометрии Медиана Теорема Пифагора Скалярное произведение векторов Виды треугольников Квадрат Отношения в геометрии Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Средняя линия Ромб Параллелограммы Подобие фигур
Реальная математика
Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на отношения Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Единицы измерения Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Основы математической статистики Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по окружности
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Линейная функция Координатная плоскость Функция квадратного корня Функции Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Свойства функций
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии, в частности – в задачах, связанных с углами. Проще всего изучать углы в треугольнике, а конкретно – в прямоугольном треугольнике. Как раз из отношения сторон прямоугольного треугольника и появились функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и острыми углами \(\alpha\ и\ \beta\):

1. Синус и косинус:

  • Синус угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α противолежащим катетом является сторона а, для угла β – сторона b.

Тогда:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\sin\beta = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

  • Косинус угла – отношение длин прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α прилежащим катетом является сторона b, для угла β – катет a.

Тогда:

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\frac{b}{c}\)

\(\cos\beta = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

Из-за того, что прилежащая сторона к одному углу является противоположной для другого угла, синус и косинус для углов \(\alpha\ и\ \beta\) повторяются:

\(\sin\alpha = \cos\beta\)

\(\cos\alpha = \sin\beta\)

Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла.

2. Тангенс и котангенс:

  • Тангенс угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к прилежащему. Оно же равно отношению синуса этого угла к косинусу.

\(\text{tg\ α} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

\(tg\ \beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

  • Котангенс – отношение длин прилежащего этому углу катета к противолежащему. Оно же равно отношению косинуса этого угла к синусу.

\(\text{ctg\ }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

\(ctg\ \beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

Так же как для синуса и косинуса, тангенс и котангенс повторяются у двух острых углов прямоугольного треугольника:

\(tg\ \alpha = ctg\beta\)

\(\text{ctg\ α} = tg\ \beta\)

Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу другого острого угла.

Котангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен тангенсу другого острого угла.

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) – это выражение, которое связывает синус и косинус одного угла:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)

Докажем это тождество, используя теорему Пифагора.

1. Рассмотрим тригонометрические функции угла α:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

2. Подставим эти отношения вместо тригонометрических функций. Получим:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = \ \left( \frac{a}{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{c} \right)^{2} = \ \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}\)

3. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1\)

Что и требовалось доказать.