Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Текстовые задачи на производительность
Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:
\(A = Pt,\)
где \(A\) – работа, \(t\) – время, \(P\) – производительность.
Через эту формулу можно выразить производительность и время:
\(P = \frac{A}{t}\)
\(t = \frac{A}{P}\)
С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.
За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?
-
Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:
\(P = \ \frac{A}{t} = \frac{35}{5} = 7\ деталей/день\)
Ответ: 7.
ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ
Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.
Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?
-
Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:
\(P_{1} = \frac{600}{10} = 60\ \)
\(деталей\ в\ день\ делает\ первый\ завод\)
-
Также найдем производительность для второго завода:
\(P_{2} = \frac{600}{15} = 40\ \)
\(деталей\ в\ день\ делает\ второй\ завод\)
-
Тогда за один день два завода вместе сделают:
\(P_{общ} = 60\ + \ 40\ = \ 100\ деталей\ в\ день\)
Это производительность является общей для заводов.
-
С такой производительностью они сделают 600 деталей за:
\(t_{общ} = \frac{600}{100} = 6\ дней\)
Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.
Ответ: 6.
ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.
Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.
-
Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:
-
При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:
-
Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:
\(t_{1} = \frac{110}{x}\)
\(t_{2} = \frac{110}{x + 1}\)
-
Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:
\(\frac{110}{x + 1} + 1 = \frac{110}{x}\)
-
Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю \((x + 1)x\). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:
\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)}\)
\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x}\ –\ \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0\)
\(\frac{110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110}{(x + 1)x} = 0\)
-
Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. \(x \neq \ –1\) и \(x \neq 0\):
\(110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110 = 0\)
\(x^{2} + x\ –\ 110 = 0\)
-
По т. Виета:
\({x_{1} + x_{1} = \ –1 }{x_{1}x_{1} = \ –110}\)
Тогда:
\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 10}{x_{2} = \ –11} \right.\ \)
-
Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.
Ответ: 10.