Текстовые задачи на производительность

Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:

\(A = Pt,\)

где \(A\) – работа, \(t\) – время, \(P\) – производительность.

Через эту формулу можно выразить производительность и время:

\(P = \frac{A}{t}\)

\(t = \frac{A}{P}\)

С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

1. Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

\(P = \ \frac{A}{t} = \frac{35}{5} = 7\ деталей/день\)

Ответ: 7.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

\(P_{1} = \frac{600}{10} = 60\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ первый\ завод\)

2. Также найдем производительность для второго завода:

\(P_{2} = \frac{600}{15} = 40\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ второй\ завод\)

3. Тогда за один день два завода вместе сделают:

\(P_{общ} = 60\ + \ 40\ = \ 100\ деталей\ в\ день\)

Это производительность является общей для заводов.

4. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

\(t_{общ} = \frac{600}{100} = 6\ дней\)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6.

ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.

Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.

1. Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:

2. При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:

3. Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:

\(t_{1} = \frac{110}{x}\)

\(t_{2} = \frac{110}{x + 1}\)

4. Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:

\(\frac{110}{x + 1} + 1 = \frac{110}{x}\)

5. Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю \((x + 1)x\). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)}\)

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x}\ –\ \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0\)

\(\frac{110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110}{(x + 1)x} = 0\)

6. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. \(x \neq \ –1\) и \(x \neq 0\):

\(110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110 = 0\)

\(x^{2} + x\ –\ 110 = 0\)

7. По т. Виета:

\({x_{1} + x_{1} = \ –1 }{x_{1}x_{1} = \ –110}\)

Тогда:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 10}{x_{2} = \ –11} \right.\ \)

8. Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.

Ответ: 10.